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:<math>f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{si }x\mbox{= 2} \\ 2, & \mbox{si }x\mbox{= 4} \\ 3, & \mbox{si }x\mbox{= 5} \end{cases}</math>
}}
=== Conjuntos infinitos ===
====Números naturales ====
El cardinal del conjunto infinito ''P'' = {''x'' ∈ <math>\mathbb{N}</math> / ''x'' es par } formado por los números pares es <math>\aleph_0</math>. Para demostrarlo basta con definir las funciones:
:<math>\begin{matrix} f:P \longrightarrow \mathbb{N} & \qquad & \qquad & g:\mathbb{N} \longrightarrow P \\
x \mapsto f(x) =\frac{x}{2} & \qquad & \qquad & x \mapsto g(x) = 2x \end{matrix}</math>
Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que ''f'' es [[Función biyectiva|biyectiva]]. La cardinalidad del conjunto es <math>\aleph_0</math>. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), pero demostramos que estos conjuntos son equipotentes.
El conjunto de pares (o más generalmente de ''n''-[[tupla]]s) de números naturales tiene un cardinal <math>\aleph_0</math>. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:
:<math>\begin{matrix} g \ :\ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\\
g(x, y) = 3^{x}\cdot 2^{y}
\end{matrix}</math>
Al ser 3 y 2 números primos, para cada par ''x'', ''y'' obtendremos un número distinto. Entonces ''g'' es inyectiva y <math>\operatorname{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \leq \operatorname{card}(\mathbb{N})</math>
==== Números racionales ====
El conjunto de los [[Número racional|Números racionales]] <math>\mathbb{Q}</math> tiene un cardinal igual a <math>\aleph_0</math>. Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "[[Glosario de topología#G|denso]]" en <math>\mathbb{R}</math> que tiene cardinal <math>2^{\aleph_0}</math>, de hecho estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales un real irracional. Eso podría hacer pensar que <math>\mathbb{Q}</math> y <math>\mathbb{R}</math> son comparables según el número de elementos, pero resulta que <math>\mathbb{Q}</math> sólo tiene tantos elementos como <math>\mathbb{N}</math>, siendo el número de elementos de <math>\mathbb{R}</math> un infinito muy superior al número de elementos de <math>\mathbb{Q}</math>.
Para comprobar que en efecto el conjunto <math>\mathbb{Q}</math> es numerable, y por tanto, tiene el mismo cardinal que los naturales podemos ver que existe una función inyectiva <math>i_\mathbb{Q}</math>. Si un número racional ''q'' es igual a ''r''/''s'' siendo estos dos números primos relativos entre sí entonces definimos:
:<math>\begin{matrix} i_\mathbb{Q}:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \\
q \mapsto i_\mathbb{Q}(q) = (r,s) & \qquad [\operatorname{mcd}(r,s) = 1] \end{matrix}
</math>
Esto demuestra que <math>\mbox{card}(\mathbb{Q}) \le \mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N})</math> y como <math>\mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) = \mbox{card}(\mathbb{N})</math> y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales tenemos la cadena de desigualdades:
:<math>\mbox{card}(\mathbb{N}) \le \mbox{card}(\mathbb{Q}) \le
\mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \le \mbox{card}(\mathbb{N})</math>
Por lo tanto: <math>\operatorname{card}(\mathbb{Q}) = \operatorname{card}(\mathbb{N})</math>
== Aritmética de cardinales ==
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