Diferencia entre revisiones de «Filosofía de las matemáticas»

Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista<ref> Encyclopedia Britanica: [http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369237/philosophy-of-mathematics/259818/Logicism-intuitionism-and-formalism] </ref> (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el [[Fenomenología trascendental|fenomenalismo]] de [[Husserl]]<ref> Por ejemplo: Ulrich Majer (2004): [http://web.archive.org/web/http://thebalticyearbook.org/journals/baltic/article/view/128 Husserl Between Frege’s Logicism And Hilbert’s Formalism] </ref>). Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas<ref> Ernst Snapper (1979); [http://www2.gsu.edu/~matgtc/three%20crises%20in%20mathematics.pdf The Three Crisis in Mathematics: Logicism, formalism and Intuitionism] </ref> lo que dio origen a otras escuelas, tanto derivadas de las anteriores<ref> Lindström, S.; Palmgren, E.; Segerberg, K.; Stoltenberg-Hansen, V. (Eds.) (2009): [http://www.springer.com/mathematics/book/978-1-4020-8925-1 Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?]</ref>como de otras percepciones básicas -por ejemplo, del [[empirismo]]. Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo<ref> Ferran Mir Sabaté (2006): ''Las discusiones posteriores sobre la filosofía matemática (la metamatemática) ilustrarán las distintas concepciones de la disciplina. Durante los años 20s se desarrollará un profundo debate sobre las bases de las matemáticas que, a pesar de su cierre aparente, sigue vigente en nuestros días''. en [http://www.filosofia.net/materiales/pdf23/CDM35.pdf LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20.] Cuaderno de Materiales. Num. 23 (2011). ISSN 1139-4382. Pàginas 557-574. </ref><ref> Por ejemplo: Edward Nelson (2006): [https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/warn.pdf Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics] </ref><ref> Por ejemplo: Alex Levine: [http://www.jstor.org/stable/20118604 Conjoining Mathematical Empiricism with Mathematical Realism: Maddy's Account of Set Perception Revisited] en '''Synthese'''.- Vol. 145, No. 3 (Jul., 2005), pp. 425-448 </ref>

El [[Realismo filosófico|realismo]]<ref>Luke Jerzykiewicz (2007) "La gran mayoría de los realistas de hoy en día, incluyendo el propio [[Stewart Shapiro]], sostienen que las entidades matemáticas (o estructuras) son abstractas y a-causal. 'Realismo', de hecho, viene a ser casi sinónimo de 'platonismo'. en [http://www.petemandik.com/blog/wp-content/uploads/pms_wips-014-jerzykiewicz.pdf Platonist epistemology and cognition] p 1 </ref><ref> Para una visión general de esta posición, ver Penelope Maddy (1992) [http://books.google.es/books/about/Realism_in_Mathematics.html?id=5-8LVP00OJcC&redir_esc=y Realism in Mathematics]</ref><ref> Haim Gaifman: [http://www.columbia.edu/~hg17/On%20Ontology%20and%20Realism%20in%20Mathematics-12-04-final.pdf On Ontology and Realism in Mathematics] </ref> es, quizás, la posición más ampliamente difundida entre los matemáticos.<ref> De acuerdo a Davis y Hersh (ver la [[Experiencia matemática]] “el matemático profesional típico es un platonista durante la semana y un formalista en el Domingo” (ver [[Realismo platónico]]), lo que generalmente se interpreta como significando que la mayoría de los matemático se comportan como si aceptaran que los objetos matemáticos y sus relaciones fueran objetivos, independientes de nuestra voluntad o subjetividad, pero si se les demanda una justificación de su posición, adoptan el formalismo (ver más abajo) </ref> En las palabras de P Maddy: "El realismo, por tanto, es el punto de vista que sostiene que la matemática es la ciencia de los [[número]]s, [[conjunto]]s, [[función matemática|funciones]], etc., tal y como la [[física]] es el estudio de los objetos físicos ordinarios, cuerpos astronómicos y partículas subatómicas entre otros. Esto es, la matemática trata acerca de esos objetos, y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matemática verdaderos o falsos.".<ref> P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en [http://web.archive.org/web/http://www.tuobra.unam.mx/publicadas/040315180338-Frege.html Frege y la nueva lógica.] </ref> En otras palabras, tanto los "objetos matemáticos" (números, [[Figura geométrica|figuras geométricas]], etc) como las leyes matemáticas no se [[Invento|inventan]], sino que se descubren. Con esto se explica al carácter [[Objetividad|objetivo]], [[Intersubjetividad|interpersonal]], de las matemáticas. Este realismo [[Ontología|ontológico]] es incompatible con todas las variedades de la filosofía [[Materialismo|materialista]]. Es representado, entre otros matemáticos, por [[Kurt Gödel]],<ref> K Gödel: “Los conceptos tienen una existencia objetiva” en [http://web.archive.org/web/http://cs.nyu.edu/kandathi/goedel_viewpoint.html My philosophical viewpoint] </ref><ref> Guillerma Díaz Muñoz (2000): [http://www.zubiri.org/general/xzreview/2000/pdf/guillerma2000.pdf Aproximación del realismo matemático de Gödel al realismo constructivo de Zubiri] </ref> [[Eugene Paul Wigner]] y [[Paul Erdös]]. Entre los filósofos que han adoptado la posición se cuentan [[Willard Van Orman Quine]]; [[Michael Dummett]]<ref> Michael Dummett (1998): [http://sammelpunkt.philo.at:8080/1269/ La existencia de los objetos matemáticos.] Teorema, XVII (2). pp. 5-24.</ref>

El formalismo matemático entiende las matemáticas como un juego ([[:m:w:es:Wittgenstein#Diferencias_entre_el_primer_y_el_segundo_Wittgenstein|en el sentido de Wittgenstein]]<ref> Para una profundización, ver, por ejemplo Douglas Patterson: "Introducción" en [http://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/acprof:oso/9780199296309.001.0001/acprof-9780199296309-chapter-1?rskey=AdapBo&result=6&q=Vienna%20Circle New Essays on Tarski and Philosophy]; P. M. S Hacker: "On Carnap's Elimination of Metaphysics" en [http://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/019924569X.001.0001/acprof-9780199245697-chapter-12?rskey=8hszxc&result=4&q=Vienna%20Circle Wittgenstein: Connections and Controversies], etc</ref>) basado en un cierto conjunto de reglas para manipular [[cadenas de caracteres]]: "..el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Este sistema formal estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las demás proposiciones de ellos deducidas: los teoremas).<ref> [http://www.canalsocial.net/ger/ficha_GER.asp?id=5736&cat=filosofia Formalismo, I. Filosofía] </ref> Por ejemplo, en el juego de [[geometría euclidiana]] se obtiene el [[teorema de Pitágoras]] combinando ciertas cadenas (los [[axioma]]s) según determinadas reglas (las del razonamiento lógico).<ref> Para una introducción general, ver Ángel Ruiz Z [http://web.archive.org/web/http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte7/Cap26/Parte03_26.htm 26.3 El formalismo] (en [http://www.angelruizz.com/ Historia y filosofía de las matemáticas]) </ref><ref> Jean-Paul Collette (1993): [http://books.google.es/books?id=ZHg3e7n7iagC&dq=formalismo+matematico&source=gbs_navlinks_s Historia de las matemáticas, volumen 2, Volume 2] p 577 y sig </ref>

El intuicionismo matemático<ref> Iemhoff, Rosalie, [http://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/ Intuitionism in the Philosophy of Mathematics], The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.), forthcoming URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/> </ref> rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista, proponiendo que el conocimiento matemático se basa en la aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos matemáticos básicos.<ref> van Atten, Mark: "Sobre la base de su filosofía de la mente, en la que [[Kant]] y [[Schopenhauer]] fueron las principales influencias, Brouwer caracteriza principalmente las matemáticas como la libre actividad del pensamiento exacto, una actividad que se basa en la intuición pura del tiempo (interior). Ningún reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan algún papel fundamental. De este modo se esforzó por evitar la [[Escila]] del platonismo (con sus problemas epistemológico) y el [[Caribdis]] del formalismo (con su pobreza de contenido). Dado que, en vista de Brouwer, no hay factor determinante de la verdad matemática fuera de la actividad de pensar, una proposición sólo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad (por haber llevado a cabo una construcción mental apropiado), de manera similar, una proposición sólo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (por darse cuenta de que una construcción mental apropiado no es posible). Por lo tanto Brouwer puede afirmar que "no hay verdades sin experiencia" (Brouwer, 1975, p.488)." en 3. Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en [http://plato.stanford.edu/entries/brouwer/#Bri Luitzen Egbertus Jan Brouwer] </ref><ref> Carlos Torres A: "El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell, a la matemática no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Frege, Russell y los logicistas 33 y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos." en [http://www.revista.unam.mx/vol.6/num1/art06/ene_art6.pdf KANT VISTO DESDE LAS MATEMÁTICAS] revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “ El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19 </ref> Este intuicionismo se origina en la propuesta de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer| L. E. J. Brouwer]]<ref> L. E. J. Brouwer (1913): [http://web.archive.org/web/http://www.math.uga.edu/~schang/math/formal.pdf INTUITIONISM AND FORMALISM] Bull. Amer. Math. Soc. 20 (2): 81–96. MR 1559427. </ref> que el saber matemático se basa en la '''intuición primordial'''<ref> DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,... Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1, 2, 3,..., n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”. " en [http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%202009/Brouwer,Heyting%20y%20el%20Intuicionismo.pdf 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.] </ref><ref> La "intuición" a la que se hace referencia tiene un sentido más bien especializado: Miguel Espinoza: "Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas, no es gradual como una inferencia, como el conocimiento que presupone el lenguaje, como la aplicación de un algoritmo. Digo "se supone" porque la inmidiatez podría ser una ilusión. Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biológicamente haya también inmediatez. La rapidez de un ordenador no implica intuición. A veces en matemáticas se entiende también por intuición las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse fácilmente. En la intuición, lo aprehendido y la operación de la mente forman un solo proceso, tienen una sola forma, por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuacion. Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento, es necesario que el intelecto y la cosa estén separados. Esto no ocurre en la intuición. Es entonces la falta de distinción sujeto-objeto, la inmediatez atribuida a la intuición que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento. Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas", en [http://institucional.us.es/revistas/themata/30/07%20espinoza.pdf Intuicionismo y objetividad] p 101-102 </ref> de los [[números naturales]] ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al anterior. (Nótese que esto introduce un elemento temporal - ver D. Pareja. op. ci).

Del mismo modo, cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor único ejemplifica la estructura de los números naturales. Lo mismo se aplica a otros objetos matemáticos. Puesto que el estructuralismo no considera los objetos, tales como números, de manera separada de su totalidad o estructura, sino que más bien los considera como "espacios en una estructura", esquiva la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos y los explica como [[Error categorial|errores categoriales]]. Así, por ejemplo, el (número) dos, en tanto número natural, ya no puede ser considerado en forma separada de la estructura de los números naturales, sino como el identificador del "segundo lugar en la estructura de los números naturales": no tiene propiedades internas ni una estructura propia. En consecuencia, existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matemáticos, como otras que rechazan su existencia<ref> Para una introducción a este aspecto, ver [http://www.tc.umn.edu/~hellm001/Publications/StructuralismMathematical.pdf STRUCTURALISM, MATHEMATICAL] Ver también Julian C. Cole (2010): [http://web.archive.org/web/http://www.buffalostate.edu/philosophy/documents/mathematical%20structuralism%20today.pdf Mathematical Structuralism Today] </ref>

* Macbeth; Danielle: [http://web.archive.org/web/http://www.haverford.edu/phil/faculty/documents/LogicandFoundationsofMath.pdf Logic and the Foundations of Mathematics]