Diferencia entre revisiones de «Entropía de von Neumann»

En [[Física estadística|mecánica estadística cuántica]], la '''entropía de von Neumann''', que recibe su nombre de [[John von Neumann]], es la extensión del concepto de [[entropía]] de Gibbs clásica al campo de [[Mecánica cuántica|mecánica cuántica.]] Para un sistema cuántico descrito por una [[Estado mixto|matriz densidad]] ρ<math>\rho</math>, la entropía de von Neumann<ref name="bengtsson301">{{Plantilla:Cita libro|last1 = Bengtsson|first1 = Ingemar|last2 = Zyczkowski|first2 = Karol|title = Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement|page = 301|edition = 1st}}</ref>

donde ''<math>\mathrm{tr''}</math> denota la [[Traza (álgebra lineal)|traza]] y ''<math>\mathrm{ln''}</math> denota el [[Logaritmo de una matriz|logaritmo natural de matrices]]. Si ρ<math>\rho</math> está escrito en términos de sus [[Vector propio y valor propio|autovectores]] <math>|1〉\rangle</math>, <math>|2〉\rangle</math>, <math>|3〉\rangle</math>, ... como

En e''s''ta forma, <math>S(\rho)</math> se puede entender como la [[Entropía (información)|entropíade Shannon]] de la distribución de probabilidad <nowiki><math>\eta_j</math></nowiki>.<ref name="bengtsson301">{{Plantilla:Cita libro|last1 = Bengtsson|first1 = Ingemar|last2 = Zyczkowski|first2 = Karol|title = Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement|page = 301|edition = 1st}}</ref>

El formalismo de la matriz densidad se desarrolló para extender las herramientas de mecánica estadística clásica al ámbito cuántico. En el marco clásicose calcula la [[Función de partición (mecánica estadística)|función de partición]] del sistema para evaluar todas cantidades termodinámicas posibles. Von Neumann introdujo la matriz densidad en el contexto de estados y operadores en un [[espacio de Hilbert]]. El conocimiento de la matriz densidad serviría para poder calcular todos los valores esperados de una manera conceptualmente similar, pero matemáticamente diferente. Sea un conjunto de funciones de onda <math>|Ψ〉\psi\rangle</math> que dependen paramétricamente de un conjunto de números cuánticos n1<math>n_1, n2n_2, ...\ldots, nNn_N</math>. La variable natural es la amplitud con la que una función de ondas particular del conjunto participa en la función de ondas del sistema. Denotando el cuadrado de esta amplitud por <math>p(n1n_1, n2n_2, ...\ldots, nNn_N)</math>, el objetivo es convertir esta cantidad p a la función de densidad clásica en el [[espacio de fases]] clásico. Hay que verificar que ''p'' tienda a la función de densidad en el límite clásico, y que tenga propiedades [[Ergodicidad|ergódicas]]. Trase comprobar que <math>p(n1n_1, n2n_2, ...\ldots, nNn_N)</math> es una constante del movimiento, suponer la ergodicidad hace que p dependa solo de la energía.

Después de este procedimiento, finalmente se llega al formalismo de la matriz densidad al buscar una forma en la que <math>p(n1n_1, n2n_2, ...\ldots, nNn_N)</math> sea invariante con respecto a la representación utilizada. En la forma en la que está escrita, sólo se obtienen los valores esperados correctos para cantidades que sean diagonales con respecto a los números cuánticos n1<math>n_1, n2n_2, ...\ldots, nNn_N</math>.

Los valores esperados de operadores que no sean diagonales involucran las fases de las amplitudes cuánticas. Si codificamos los números cuánticos n1<math>n_1, n2n_2, ...\ldots, nNn_N</math> en un único índice <math>i</math>, la función de onda tiene la forma

El valor esperado de un operador ''<math>B''</math> que no es diagonal en estas funciones de onda es

Por tanto,〈 <math>\langle B〉 \rangle</math> queda como

La invariancia de esta fórmula está garantizada por el álgebra lineal. Se ha establecido una formulación matemática en la que los valores esperados se obtienen como la traza del operador de densidad ρ̂<math>\rho</math> y un operador B̂ <math>B</math> (el producto escalar de Hilbert de dos operadores).

<span class="cx-segment" data-segmentid="84"></span>Matemáticamente, ρ̂<math>\rho</math> es una matriz [[Matriz hermitiana|hermítica]] [[Matriz definida positiva|semidefinida positiva]] con traza unidad.

Dada la matriz densidad ''ρ''<math>\rho</math>, von Neumann definió la entropía<ref>[http://books.google.com/books?id=aA4vXMbuOTUC&pg=PA301 Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, by Ingemar Bengtsson, Karol Życzkowski, p301]</ref><ref name="Zachos">{{Plantilla:Cita publicación|last1 = Zachos|first1 = C. K.|title = A classical bound on quantum entropy|doi = 10.1088/1751-8113/40/21/F02|journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume = 40|issue = 21|pages = F407|year = 2007|arxiv = hep-th/0609148|bibcode = 2007JPhA...40..407Z}}</ref> como

que es una extensión apropiada de la [[Entropía|entropía de Gibbs]] (salvo un factor kB<math>k_B</math>) y la [[Entropía (información)|entropía de Shannon]] al caso cuántico. Para calcular <math>S(ρ\rho) </math> es conveniente calcular su [[Vector propio y valor propio|diagonalización]] <math>~\rho = \sum_j \eta_j \left| j \right\rangle \left\langle j \right| </math>. En este caso, la entropía de von Neumann está dada por

Como para un estado puro, la matriz densidad es [[Matriz idempotente|idempotente]], {{Plantilla:Nowrap|1 = ''ρ''<math>\rho^2 = ''ρ''<sup>2\rho</supmath>}} = ρ2, la entropía <math>S(ρ\rho)</math> se anula. Así, si el sistema es de dimensión finita, la entropía <math>S(ρ\rho)</math> cuantifica ''la diferencia del sistema con respecto de un estado puro.'' En otras palabras, codifica el grado de mezcla de los estatados puros que describen un sistema finito dado. La medición crea [[Decoherencia cuántica|decoherencia]]  en un sistema cuántico y lo "hace más clásico"; así, por ejemplo, la entropía nula de un estado puro <math>\Psi = ( \left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle ) / \sqrt{2}</math>, al que corresponde una matriz densidad

aumenta hasta {{Plantilla:Nowrap|<math>S = \ln 2 = 0.69</math>}} para la mezcla resultante de la medida

* <math>S({{Plantilla:Math|''S''(''ρ'')}}\rho)</math> es cero si y sólo si ρ<math>\rho</math> representa un estado puro.

* <math>S(ρ\rho)</math> es máxima e igual a {{Plantilla:Math|<math>\ln ''N''}}</math> {{Plantilla:Math|ln ''N''}} para un estado máximamente mezclado, siendo <math>N</math> la dimensión del [[espacio de Hilbert]].

* <math>S({{Plantilla:Math|''S''(''ρ'')}}\rho)</math> es invariante bajo cambios en la base de ρ<math>\rho</math>, esto es, <math>S(ρ\rho) = S(UρU†U \rho U^\dagger)</math>, con <math>U </math> una transformación unitaria.

* <math>S(ρ\rho)</math> es cóncava, es decir, dado una colección de números positivos λi<math>\lambda_i</math> que suman a la unidad (<math>\Sigma_i \lambda_i = 1</math>) y operadores de densidad ρi<math>\rho_i</math>, tenemos<math> S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \, \rho_i \bigg) \,\geq\, \sum_{i=1}^k \lambda_i \, S(\rho_i). </math>

La desigualdad dela derecha recibe el nombre de subadividad, y las dos desigualdades juntas se conocen como la ''[[Desigualdad triangular|desigualdad triángular.]]'' Fueron probadas en 1970 por [[:en:Huzihiro_Araki|Huzihiro Araki]] y [[Elliott H. Lieb|Elliott H. Lieb.]]<ref>Huzihiro Araki and Elliott H. Lieb, ''Entropy Inequalities'', Communications in Mathematical Physics, vol 18, 160&#x2013;170 (1970).</ref> Mientras en la teoría de Shannon la entropía de un sistema compuesto nunca puede ser menor que la entropía de cualquiera de sus partes, en la teoría cuántica este no es el caso, es decir, es posible que <math>S(ρAB\rho_{AB}) = 0</math>, mientras que <math>S(A\rho_A) = S(ρB\rho_B) >= 0</math>.

Intuitivamente, esto se puede entender así: En mecánica cuántica, la entropía del sistema conjunto puede ser menor que la suma de la entropía de sus componentes porque los componentes pueden estar [[Entrelazamiento cuántico|entrelazados.]] Por ejemplo, el [[estado de Bell]] de dos [[Qubit|qubits]],

Si los sistema ''A'' y ''B'' tiene cantidades diferentes de entropía, la menor solo se puede compensar parcialmente con la mayor, y queda alguna entropía residual. Así mismo, la desigualdad de la derecha puede ser interpretada como que la entropía de un sistema compuesto es máxima cuando sus componentes no están correlacionados, y en este caso la entroía total es la suma de las entropías de los componentes.<span class="cx-segment" data-segmentid="202"></span>