Diferencia entre revisiones de «Consistencia (lógica)»
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En [[lógica
== Introducción ==
La consistencia de un conjunto de proposiciones <math>\scriptstyle \mathcal{A}</math> puede ser definida tanto en términos [[Semántica formal|semánticos]] como en términos [[Sintaxis|sintácticos]]. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente [[si y sólo si]] tiene un [[Teoría de modelos|modelo]] <math>\scriptstyle \mathcal{M}</math>:
{{ecuación|
<math>\vDash_\mathcal{M} \mathcal{A}</math>
||left}}
Es decir, si existe al menos una [[Interpretación (lógica)|interpretación]] que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ¬A ([[Id est|i.e.]] la [[negación lógica]] de A) a partir del conjunto de fórmulas.<ref name="Hunter">{{cita libro |apellido=Hunter |nombre=Geoffrey |título=Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic |editorial=University of California Press |año=1971 |capítulo=Sección 24}}</ref>
Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la [[lógica proposicional]]: { p, q, (q→¬p), r }. Utilizando la regla de inferencia del [[modus ponens]] entre q y (q→¬p), es posible deducir ¬p. Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente. Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una [[tabla de verdad]]:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c}
p & q & (q \to \neg p) & r \\
\hline
V & V & F & V \\
V & V & F & F \\
V & F & V & V \\
V & F & V & F \\
F & V & V & V \\
F & V & V & F \\
F & F & V & V \\
F & F & V & F \\
\end{array}
</math>
Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.
Un [[sistema formal]] es consistente si y sólo si el conjunto de sus [[teorema]]s es consistente.<ref name="Hunter">Véase {{cita libro |apellido=Hunter |nombre=Geoffrey |título=Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic |editorial=University of California Press |año=1971 |capítulo=Sección 24}}</ref>
Por los [[teoremas de la incompletitud de Gödel]] sabemos que ningún sistema formal que tenga un mínimo de poder expresivo puede ser a la vez consistente y [[Completitud semántica|completo]].
== Véase también ==
* [[Metalógica]]
* [[Principio de no contradicción]]
* [[Principio de explosión]]
* [[Teoremas de la incompletitud de Gödel]]
== Notas y referencias ==
{{listaref}}
[[Categoría:Metalógica]]
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