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La función ''desnormalizada'' es idéntica a la ''normalizada'' excepto por el factor de escala faltante en el argumento. La función sinc corresponde a la transformada de fourier de un pulso rectangular, y la transformada inversa de fourier de un espectro rectangular es una sinc.
== Reseña histórica ==
El término "sinc" es una contracción del nombre latino completo de la función ''sinus cardinalis'' (seno cardinal).<ref name=Poynton/> La notación fue introducida por el matemático e ingeniero británico [[Philip Woodward]] en su artículo de 1952 ''"Information theory and inverse probability in telecommunication"'' ''(Teoría de la Información y probabilidad inversa en las telecomunicaciones)'', en el que afirmó que la función ''"se reproduce con tanta frecuencia en el análisis de Fourier y en sus aplicaciones, que parece merecer alguna notación propia"'',<ref>{{cite journal| last1=Woodward|first1= P. M.|last2= Davies|first2= I. L. |url=http://www.norbertwiener.umd.edu/crowds/documents/Woodward52.pdf|title=Information theory and inverse probability in telecommunication|journal=Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering|volume=99|issue=58|pages=37–44|date= March 1952| doi=10.1049/pi-3.1952.0011}}</ref> La notación también es utilizada en su libro de 1953 ''"Probability and Information Theory, with Applications to Radar"'' ''(Probabilidad y Teoría de la Información, con aplicaciones al Radar)''.<ref name=Poynton>{{Cite book|first=Charles A. |last=Poynton|title=Digital video and HDTV|page=147|publisher= Morgan Kaufmann Publishers|year= 2003| isbn =1-55860-792-7}}</ref><ref>{{cite book|first=Phillip M. |last=Woodward|title=Probability and information theory, with applications to radar|page=29|location=London|publisher= Pergamon Press|year= 1953|oclc=488749777|isbn=0-89006-103-3}}</ref>
Con anterioridad, ya en 1915, el también matemático británico [[Edmund Whittaker]] (1873 - 1956) había utilizado la función<ref>{{cita web|apellidos1=Radomir S. Stankovic, Jaakko T. Astola, Mark G. Karpovsky|título=Some Historical Remarks on Sampling Theorem|url=http://www.cs.tut.fi/~jta/computing-history-material/remarks%20for%20sampling%20theorem.pdf|idioma=en|fechaacceso=24 de agosto de 2016}}</ref> aplicada a procesos de [[muestreo]], aunque no le dio nombre. La función permite resolver el problema de:<ref>Whittaker, E.T., "On the functions expansions
of the interpolation theory"; Proc. Roy. Soc.;Edinburgh; Vol. 35, 1915, 181-194.</ref>
: Determinar una función que pasa por los puntos <math>(a + kw, f(a + kw))</math>, donde <math>k</math> es un número entero, y <math>w</math> es un número complejo, obteniendo una interpolación tan suave como sea posible, sin singularidades y con rápidas oscilaciones de los valores tabulares dados de <math>f(x)</math>.
y toma la forma:
: <math>C(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(a+kw) \frac{sin (\frac {\pi} {w}) (x-a-kw)} {(\frac {\pi} {w}) (x-a-kw)}</math>
== Propiedades ==
[[Archivo:Si cos.svg|thumb|350px|right|Los máximos y mínimos locales (pequeños puntos blancos) de la función sinc sin normalizar, (curva de color rojo), coinciden con sus intersecciones con la [[coseno|función coseno]] (curva azul).]]
[[Archivo:Sinc re.svg|thumb|Parte real de sinc compleja {{math|Re(sinc ''z'') {{=}} Re({{sfrac|sin ''z''|''z''}})}}.]]
[[Archivo:Sinc im.svg|thumb|Parte imaginaria de sinc compleja {{math|Im(sinc ''z'') {{=}} Im({{sfrac|sin ''z''|''z''}})}}.]]
[[Archivo:Sinc abs.svg|thumb|Valor absoluto {{math|{{absf|sinc ''z''}} {{=}} {{absf|{{sfrac|sin ''z''|''z''}}}}}}.]]
Los ''ceros'' (cortes con el eje horizontal) de la función sinc sin normalizar están en múltiplos enteros de <big>π</big> no nulos, mientras que los ''ceros'' de la función sinc normalizada se localizan en números enteros distintos de cero.
Los máximos y mínimos locales de la función sinc sin normalizar se corresponden con sus intersecciones con la función coseno. Es decir, {{math|{{sfrac|sin(''ξ'')|''ξ''}} {{=}} cos(''ξ'')}} para todos los puntos {{mvar|ξ}} donde la derivada de {{math|{{sfrac|sin(''x'')|''x''}}}} es cero y por lo tanto se alcanza un valor extremo local.
Una buena aproximación de la coordenada {{mvar|x}} del valor extremo enésimo {{math|n}},, con {{math|x}} positivo, es la coordenada
: <math>x_n \approx (n+\tfrac12)\pi - \frac1{(n+\frac12)\pi} ~,</math>
donde {{math|''n''}} impar lleva a un mínimo local y {{math|''n''}} par a un máximo local. Además de valores extremos en {{math|''x<sub>n</sub>''}}, la curva tiene un máximo absoluto en {{math|''ξ''<sub>0</sub> {{=}} (0,1)}} y debido a su simetría respecto al eje {{math|''y''}}, también lo es para los valores de {{math|''x''}} negativos {{math|−''x<sub>n</sub>''}}.
La función sinc normalizada posee una representación simple como el [[productorio]]
: <math>\mathrm{sinc}_N(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>
y se relaciona con la [[función gamma]] {{math|Γ(''x'')}} través [[fórmula de reflexión|fórmula de reflexión de Euler]],
: <math>\mathrm{sinc}_N(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}~.</math>
[[Euler]] descubrió<ref>{{cite journal|last=Euler|first=Leonhard|title=On the sums of series of reciprocals|year=1735|url=http://arxiv.org/abs/math/0506415}}</ref> que
: <math>\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right)~.</math>
La [[transformada de Fourier]] de la función sinc normalizada (a la frecuencia ordinaria) es {{math|[[función rectangular|rect]]( ''f'' )}},
: <math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}_N(t) \, e^{i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f)~,</math>
donde la [[función rectangular]] es 1 para argumentos entre -{{sfrac|1|2}} y {{sfrac|1|2}}, y cero en caso contrario. Esto corresponde al hecho de que el [[Filtro Sinc|filtro sinc]] es el [[filtro paso bajo|filtro de paso bajo]] ideal (lo que se denomina en inglés un ''brick-wall'', es decir, un filtro electrónico idealizado, que presenta plena transmisión en la banda de paso, y atenuación completa en la banda restringida, con transiciones bruscas, que se conoce coloquialmente en su traducción literal como "filtro de muro de ladrillo").
Esta integral de Fourier, incluyendo el caso especial
: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1\,\!</math>
es una [[integral impropia]] (según la de finición de [[integral de Dirichlet]]), y no una [[integral de Lebesgue]] convergente, como
: <math>\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty ~.</math>
De la anterior integral de Fourier se deducen las expresiones siguientes:
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}_N(x)\ dx = 1</math>
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}(x)\ dx = \pi</math>
La función sinc normalizada tiene propiedades que la hacen ideal en relación con la [[interpolación]] de funciones [[muestreo digital|muestreadas]] con ancho de banda limitado:
* Se trata de una función de interpolación, es decir, {{math|sinc(0) {{=}} 1}}, y {{math|sinc(''k'') {{=}} 0}} para [[número entero|números enteros]] {{math|''k''}} distintos de cero.
* Las funciones {{math|''x<sub>k</sub>''(''t'') {{=}} sinc(''t'' − ''k'')}} con ({{math|''k''}} entero) forman una [[base ortonormal]] para funciones de ancho de banda limitado en el [[Espacios Lp|espacio funcional]] {{math|'''''L'''''<sup>2</sup>('''R''')}}, con la frecuencia angular más alta {{math|''ω''<sub>H</sub> {{=}} π}} (es decir, la frecuencia de ciclo más alta {{math|''f''<sub>H</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}).
Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:
* La función sinc no normalizada es la [[función de Bessel]] esférica de primera clase de orden cero, {{math|''j''<sub>0</sub>(''x'')}}. La función sinc normalizada es {{math| ''j''<sub>0</sub>(π''x'')}}.
* <math> \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x) \,\!</math>
: donde {{math|Si(''x'')}} es la función [[integral senoidal]].
* {{math|''λ'' sinc(''λx'')}} (no normalizada) es una de las dos soluciones linealmente independientes de la [[ecuación diferencial ordinaria]] lineal
:: <math>x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!</math>
: La otra es {{math|{{sfrac|cos(''λx'')|''x''}}}}, que no está limitada en {{math|''x'' {{=}} 0}}, a diferencia de su contraparte, la función sinc.
* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \,\! \rightarrow \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1~, </math>
: donde se hace referencia a la función sinc normalizada.
* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!</math>
* <math> \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} ~.</math>
== Relación con la distribución delta de Dirac ==
La función sinc normalizada se puede utilizar como una ''[[delta de Dirac|función delta naciente]]'', de acuerdo con la siguiente [[Límite de una sucesión#Sucesiones en otros espacios matemáticos#Convergencia uniforme sobre compactos#convergencia débil|convergencia débil]],
: <math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x}=\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}\left(\frac{x}{a}\right)=\delta(x)~.</math>
Este no es un límite ordinario, puesto que desde el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que
: <math>\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}\left(\frac{x}{a}\right)\varphi(x)\,dx
= \varphi(0)~,</math>
para cualquier [[función continuamente diferenciable]] {{math| ''φ''(''x'')}} con [[Soporte (matemáticas)|soporte compacto]].
En la expresión anterior, como {{math|''a'' → 0}}, el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc se aproxima a infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro del intervalo {{math|±{{sfrac|1|π''x''}}}}, independientemente del valor de {{mvar|a}}.
Esto complica la imagen informal de {{math|''δ''(''x'')}} como cero para todos los valores de {{mvar|x}} excepto para el punto {{math|''x'' {{=}} 0}}, e ilustra el problema de la idea de la función delta como una función más que como una distribución. Una situación similar se aparece en el [[fenómeno de Gibbs]].
== Series ==
Todos los sumatorios en esta sección se refieren a la función sinc sin normalizar.
El sumatorio de {{math|sinc(''n'')}} sobre {{mvar|n}} para los números enteros de 1 a {{math|∞}} es igual a {{math|{{sfrac|π − 1|2}}}}.
: <math>\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) + \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) + \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{\pi-1}{2}</math>
El sumatorio de los cuadrados es también igual a {{math|{{sfrac|π − 1|2}}}}.<ref name="BBB">
{{cite journal
|author1=Robert Baillie|author2=[[David Borwein]]|author3=[[Jonathan M. Borwein]]
|title=Surprising Sinc Sums and Integrals
|journal=American Mathematical Monthly
|date=December 2008|volume=115|issue=10|pages=888–901
}}</ref>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) + \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) + \operatorname{sinc}^2(4) +\cdots = \frac{\pi-1}{2}</math>
Cuando los signos de las [[Adición (matemática)|adiciones]] se alternan y comienzan con el signo +, el sumatorio es igual a {{sfrac|1|2}}.
: <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) - \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) - \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{1}{2}</math>
El sumatorio de los términos alternantes de los cuadrados y los cubos también es igual a {{sfrac|1|2}}.<ref name="FWFS">
{{cite arXiv |last=Baillie |first=Robert |eprint=0806.0150v2 |class=math.CA |title=Fun with Fourier series |date=2008}}</ref>
: <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) - \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) - \operatorname{sinc}^2(4) +\cdots = \frac{1}{2}</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^3(n) = \operatorname{sinc}^3(1) - \operatorname{sinc}^3(2) + \operatorname{sinc}^3(3) - \operatorname{sinc}^3(4) +\cdots = \frac{1}{2}</math>
== Expansión de las series ==
Para {{math|sinc(''x'')}} sin normalizar:
: <math> \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( -x^2 \right)^n}{(2n+1)!} </math>
== Dimensiones superiores ==
El producto de funciones sinc 1-D proporciona fácilmente una [[Cálculo multivariable|función multivariable]] sinc para un sistema de referencia cartesiano de rejilla cuadrada ([[gráfico de celosía]]): {{math|sinc<sub>C</sub>(''x'', ''y'') {{=}} sinc(''x'') sinc(''y'')}} cuya [[transformada de Fourier]] es la [[función indicatriz]] de un cuadrado en el espacio de frecuencia (es decir, el definido por un ''muro de ladrillo'' en el espacio 2-D). La función sinc para un [[gráfico de celosía]] no cartesiano (por ejemplo, una [[rejilla hexagonal]]) es una función cuya [[transformada de Fourier]] es la [[función indicatriz]] de la [[zona de Brillouin]] de la celosía. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya [[transformada de Fourier]] es la indicatriz de la unidad hexágonal en el espacio de la frecuencia. Para una retícula cartesiana esta función no se puede obtener por un simple tensor-producto. Sin embargo, la fórmula explícita de la función sinc para rejillas hexagonales, [[Sistema cristalino cúbico|sistemas cúbicos]], celosías cúbicas centradas en las caras y otras celosías de dimensiones superiores pueden ser deducidas explícitamente<ref name="multiD">{{cite journal| last1=Ye|first1= W.|last2= Entezari|first2= A. |url=http://dx.doi.org/10.1109/TIP.2011.2162421|title=A Geometric Construction of Multivariate Sinc Functions|journal=IEEE Transactions on Image Processing|volume=21|issue=6|pages=2969–2979|date= June 2012| doi=10.1109/TIP.2011.2162421| pmid=21775264}}</ref> utilizando las propiedades geométricas de las [[zona de Brillouin|zonas de Brillouin]] y su conexión con los [[zonoedro|zonotopos]].
Por ejemplo, una [[rejilla hexagonal]] puede ser generada por el [[sistema generador]] de vectores (enteros)
: <math>u_1 = \left[\begin{array}{c}\frac12\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right] \quad \text{ } \quad u_2 = \left[\begin{array}{c}\frac12 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right].</math>
siendo
: <math>\xi_1 = \tfrac23 u_1, \quad \xi_2 = \tfrac23 u_2, \quad \xi_3 = -\tfrac23(u_1 + u_2), \quad \mathbf{x} = \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],</math>
puede deducirse <ref name="multiD" /> la función sinc para esta red hexagonal como:
: <math>\begin{align} \operatorname{sinc}_{\rm H}(\mathbf{x}) = \tfrac13\big(
&\cos(\pi\xi_1\cdot\mathbf{x})\operatorname{sinc}(\xi_2\cdot\mathbf{x})\operatorname{sinc}(\xi_3\cdot\mathbf{x})+{} \\
&\cos(\pi\xi_2\cdot\mathbf{x})\operatorname{sinc}(\xi_3\cdot\mathbf{x})\operatorname{sinc}(\xi_1\cdot\mathbf{x})+{} \\
&\cos(\pi\xi_3\cdot\mathbf{x})\operatorname{sinc}(\xi_1\cdot\mathbf{x})\operatorname{sinc}(\xi_2\cdot\mathbf{x})\big)
\end{align}</math>
Esta construcción se puede utilizar para diseñar [[ventana de Lanczos|ventanas de Lanczos]] para rejillas multidimensionales generales.<ref name="multiD" />
== Véase también ==
* [[Filtro antialiasing]]
* [[Filtro Sinc]]
* [[Remuestreo de Lanczos]]
* [[Fórmula de interpolación de Whittaker–Shannon]]
* [[Proyección de Winkel-Tripel]] (cartografía)
* [[Integral senoidal]]
* [[Funciones trigonométricas de matrices]]
* [[Integral de Borwein]]
* [[Integral de Dirichlet]]
== Referencias ==
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== Enlaces externos ==
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