Diferencia entre revisiones de «Límite de una función»
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el que escribió esto entiende mucho más que yo de matemática, pero de gramática muy poco |
→Funciones de dos variables reales: Demostración agregada. |
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Línea 156:
{{Ecuación|<math>\lim_{\begin{smallmatrix}x \to a \\ y \to b\end{smallmatrix}} \mathbf{f}(x,y) = \mathbf{L} \iff \lim_{\begin{smallmatrix}x \to a \\ y \to b\end{smallmatrix}} P(x,y) = A \land \lim_{\begin{smallmatrix}x \to a \\ y \to b\end{smallmatrix}} Q(x,y) = B</math>}}
}}
{{Demostración
| 1=El enunciado consiste de una [[bicondicional|doble implicación]]. Para demostrarlo, se requiere abordar individualmente las implicaciones que lo componen.
<math>\Longrightarrow)</math> se asume que el límite del campo vectorial '''f''' es igual a '''L'''. Por definición, para cada número real positivo ε arbitrario, existe un [[Disco (topología)|disco plano]] de radio δ, de manera tal que se cumple la implicación
{{Ecuación|<math>0 < \| (x,y)-(a,b) \| < \delta \Longrightarrow \| \mathbf{f}(x,y) - \mathbf{L} \| < \varepsilon </math>}}
para todo punto (''x'', ''y'') en el dominio de '''f'''. Pero
{{Ecuación|<math>\begin{align}
\varepsilon & > \| \mathbf{f}(x,y) - \mathbf{L} \| = \left\| \Big(P(x,y),Q(x,y)\Big) - (A,B) \right\| = \left\| \Big(P(x,y)-A,Q(x,y)-B\Big) \right\| \ge \\
& \ge | P(x,y) - A |
\end{align}</math>}}
luego
{{Ecuación|<math>0 < \| (x,y)-(a,b) \| < \delta \Longrightarrow | P(x,y) - A | < \varepsilon </math>}}
esto prueba que, si el límite de '''f''' es '''L''', entonces el límite de ''P'' es ''A''. La prueba para ''Q'' es análoga.
<math>\Longleftarrow)</math> suponemos ahora que el límite de ''P'' es ''A'', y el límite de ''Q'' es ''B''. En tal caso, dados ''ε''<sub>1</sub>, ''ε''<sub>2</sub> reales positivos y arbitrarios, existen sendos [[Disco (topología)|discos planos]] de radios ''δ''<sub>1</sub>, ''δ''<sub>2</sub> respectivamente, de manera tal que se cumplen las implicaciones
{{Ecuación|<math>\begin{align}
0 < \| (x,y)-(a,b) \| < \delta_1 & \Longrightarrow | P(x,y) - A | < \varepsilon_1 \\
0 < \| (x,y)-(a,b) \| < \delta_2 & \Longrightarrow | Q(x,y) - B | < \varepsilon_2
\end{align}</math>}}
Sean
{{Ecuación|<math>
\delta = \min\left\{ \delta_1, \delta_2 \right\}, \quad
\varepsilon = \|(\varepsilon_1, \varepsilon_2)\|
</math>}}
entonces de la hipótesis se desprende que
{{Ecuación|<math>
0 < \| (x,y)-(a,b) \| < \delta
</math>}}
lo cual, a su vez, implica
{{Ecuación|<math>
\| \mathbf{f}(x,y) - \mathbf{L} \| = \left\| \Big(P(x,y)-A,Q(x,y)-B\Big) \right\| < \|(\varepsilon_1, \varepsilon_2)\| = \varepsilon
</math>}}
Como ''ε''<sub>1</sub> y ''ε''<sub>2</sub> son arbitrarios, entonces ''ε'' también lo es, y además para cada uno de ellos existen ''δ''<sub>1</sub>, ''δ''<sub>2</sub>, lo cual garantiza la existencia del mínimo ''δ''. Luego, para todo ''ε'', existe un ''δ'', de manera tal que
{{Ecuación|<math>
0 < \| (x,y)-(a,b) \| < \delta \Longrightarrow \| \mathbf{f}(x,y) - \mathbf{L} \| < \varepsilon.
</math>}}
lo cual coincide con la definición del límite de '''f''' en (''a'', ''b'')[[Quod erat demonstrandum|∎]]
}}
Este resultado puede generalizarse a [[Funciones|funciones vectoriales]] de la forma
{{Ecuación|<math>\mathbf{f} : X \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m</math>}}
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