Diferencia entre revisiones de «Grupo resoluble»
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En la [[teoría de grupos]], un '''grupo resoluble''' (o '''soluble''') es un [[Grupo (matemática)|grupo]] que se construye a partir de [[Grupo abeliano|grupos abelianos]] usando [[Extensión de grupo|extensiones de grupo]]. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya [[serie derivada (matemáticas)|serie derivada]] se termina en el [[Grupo trivial|subgrupo trivial]].
== Definición ==▼
▲== Definición ==
Un grupo finito ''G'' se dice '''resoluble''' (o '''soluble''') si existe una cadena finita de [[Subgrupo|subgrupos]] <math>\{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G</math> tal que:
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*: El [[grupo cociente]] <math> G_{i+1}/G_i </math> es abeliano.
A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar ''torre
Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los [[subgrupo conmutador|subgrupos conmutadores]]. Definimos <math> G^{(0)}=G </math> y <math> G^{(i+1)}=[G_i,G_i] </math>. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos ''serie derivada'':
:<math> G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)} \supseteq G^{(2)} \dots, </math> donde <math> G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)} </math> para todo i.
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== Ejemplos ==
* Todo grupo abeliano es resoluble, ya que <math>\{1\}\subseteq G</math> y <math>1\triangleleft G</math>, dado que <math>x\cdot 1_G\cdot x^{-1} \in\{1_G\}</math> y además <math>G/\{1\}\simeq G</math>, por lo que es abeliano.
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