Diferencia entre revisiones de «Matriz cuadrada»

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→‎Clases de matrices cuadradas: ordeno las clases a la vez, para mostrar mejor que una matriz unidad es un caso especial de m. diagonal, a su vez un caso particular de m. triangular
(→‎Clases de matrices cuadradas: divido en subsecciones)
(→‎Clases de matrices cuadradas: ordeno las clases a la vez, para mostrar mejor que una matriz unidad es un caso especial de m. diagonal, a su vez un caso particular de m. triangular)
== Clases de matrices cuadradas ==
 
=== Matriz unidadtriángular superior ===
Una matriz cuadrada es '''[[matriz triangular|triángular superior]]''' si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma:
Es una matriz cuadrada de la forma:
 
: <math>
IA =
\begin{pmatrix}
1a_{11} & 0a_{12} & 0a_{13} & \cdots & 0a_{1m} \\
0 & 1a_{22} & 0a_{23} & \cdots & 0a_{2m} \\
0 & 0 & 1a_{33} & \cdots & 0a_{3m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1a_{nm} \\
\end{pmatrix}
</math>
Por lo tanto la matriz unidad es aquella que dispone de la unidad en su diagonal principal y los demás elementos son 0.
Se representa con '''I'''.
 
<small>'''Ejemplo:'''
: <math>
IA =
\begin{pmatrix}
13 & 06 & 012 & 0 -3 \\
0 & 1-2 & 04 & 0 9\\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 8 \\
\end{pmatrix}
</math>
</math></small>
 
=== Matriz diagonaltriángular inferior ===
Es cualquierUna matriz cuadrada quees '''[[matriz triangular|triángular inferior]]''' si tiene nulos todos los elementos exceptoque losestán por encima de la diagonal principal, de la forma:
 
: <math>
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
0a_{31} & 0a_{32} & a_{33} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0a_{n1} & 0a_{n2} & 0a_{n3} & \cdots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}
</math>
A =
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
06 & 02 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 8 \\
\end{pmatrix}
</math>
Perteneciente a : <math>
M_4M_3
</math></small>
 
 
=== Matriz triángular superiordiagonal ===
Una matriz cuadrada es triángular superior si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma:
Una matriz cuadrada es triángular'''[[matriz inferiordiagonal|diagonal]]''' si tiene nulos todos los elementos queexcepto están por encimalos de la diagonal principal, de la forma:
 
: <math>
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}0 & a_{13}0 & \cdots & a_{1m}0 \\
0 & a_{22} & a_{23}0 & \cdots & a_{2m}0 \\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3m}0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nm} \\
A =
\begin{pmatrix}
3 & 60 & 120 & -30 \\
0 & -2 & 40 & 90 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 8 \\
</math></small>
 
Por definición, toda matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior.
=== Matriz triángular inferior ===
 
Una matriz cuadrada es triángular inferior si tiene nulos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal, de la forma:
=== Matriz triángular inferiorunidad ===
Una matriz cuadrada es una '''matriz unitaria''' o '''matriz unidad''' si todos los elementos en su diagonal principal son la unidad y los demás elementos son 0. Se trata de un caso particular de matriz diagonal, y se representa por '''''I'''''.
 
: <math>
AI =
\begin{pmatrix}
a_{11}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21}0 & a_{22}1 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{31}0 & a_{32}0 & a_{33}1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}0 & a_{n2}0 & a_{n3}0 & \cdots & a_{nm}1 \\
\end{pmatrix}
</math>
 
<small>'''Ejemplo:'''
: <math>
AI =
\begin{pmatrix}
31 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -21 & 0 & 0 \\
60 & 20 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 81 \\
\end{pmatrix}
</math>
Perteneciente a : <math>
M_3M_4
</math></small>