Exponente de Lyapunov

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El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial diverge

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Definición

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Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación   en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

 

en general depende del punto de inicio  . El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

 .

La matriz   describe cómo un pequeño cambio en el punto   se propaga hasta el punto final  . El límite

 

define a una matriz   (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si   son los valores propios de  , entonces el exponente Lyapunov   está definido por

 

Propiedades básicas

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  • Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
  • Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
  • Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
  • En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.
  • El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
  • El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico.

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Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz   basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo  .

Referencias

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Bibliografía

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  • Fernádez Rañada, Antonio (2005). Dinámica Clásica (1ª edición). México DF: Fondo de Cultura Económica. pp. 545-600. ISBN 84-206-8133-4. 

Enlaces externos

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