Abrir menú principal

Filtración (álgebra abstracta)

En matemáticas, una filtración es un conjunto indexado Si de subestructuras de una estructura algebraica S, recorriendo el subíndice i cierto conjunto I (el conjunto I debe ser un conjunto totalmente ordenado) y cumpliendo la condición:

Si el índice i es el parámetro tiempo de un proceso estocástico, entonces la filtración puede interpretarse como una representación de todo el histórico de información hasta un instante dado, y nunca incluirá información que sólo estará disponible en el futuro. Así el objeto Si irá haciéndose más informativo y complejo a medida que i crece. Definido eso, un proceso se dice adaptado a la filtración , si es un proceso no anticipatorio, es decir, "no puede prever el futuro".[1]

A veces, como en una álgebra filtrada, se impone el requerimiento de que las sean subálgebras con respecto a algunas operaciones determinadas (como por ejemplo, la suma vectorial), pero no necesariamente con respecto a otras. A veces, se asume que las filtraciones satisfarán requerimientos adicionales como que la unión de todas las debe ser el conjunto completo, o el que homomorfismo canónico del límite directo de las en sea de hecho isomorfismo.


EjemplosEditar

ÁlgebraEditar

GruposEditar

En álgebra, las filtraciones usualmente se indexan mediante  , el conjunto de los números naturales. Una filtración de un grupo G, es entonces una sucesión anidada Gn de subgrupos normales de G (es decir, para cualquier n se tiene Gn+1Gn). Nótese que este uso del término "filtración" se corresponde con la noción de "filtración descendente".

Dado un grupo G y una filtración Gn, existe una manera natural de definir una topología sobre G, "asociada" a dicha filtración. Una base para esta topología sería el conjunto de todas las traslaciones de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un conjunto de G se define como abierto si es la unión de conjuntos de la forma aGn, donde aG y n es un número natural.

La topología asociada a una filtración sobre un grupo G hace de G un grupo topológico. La topología asociada a una filtración Gn sobre un grupo G es Hausdorff si y solo si ∩Gn = {1}.

ReferenciasEditar

  1. Björk, Thomas (2005). «Appendix B». Arbitrage Theory in Continuous Time. ISBN 978-0-19-927126-9. 

BibliografíaEditar