Forma bilineal

En matemáticas, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación bilineal , donde es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una función que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]

Cuando es el cuerpo de números complejos , es más interesante hablar de formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales, pero son conjugadas lineales en un argumento.

DefiniciónEditar

Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

 

que verifica:[1]

  •  
  •  
  •  
  •  

para cualquier   y  

También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (2, 0).

EjemplosEditar

  • El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional   de la forma   y  , su producto escalar viene dado por:
     
    que se puede verificar que es una forma bilineal.
  • El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional  ,   y  , y sea
     
    se define
     
    denotado más comúnmente por
     .

PropiedadesEditar

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

  •  
  •  
  •  

para todo   y  

Forma bilineal simétrica y antisimétricaEditar

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

Forma bilineal simétricaEditar

Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

 

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

Forma bilineal antisimetricaEditar

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

 

en particular se tiene que  

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

Descomposición de una forma bilineal cualquieraEditar

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

 

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

 

Las formas así definidas componen la forma original:

 

Forma sesquilinealEditar

Si el cuerpo K es el cuerpo de números complejos C, se puede definir una forma sesquilineal como:

  •  
  •  
  •  
  •  

donde  , en la última condición, denota al complejo conjugado.

  • Se dice que una forma sesquilineal f es hermítica si es igual a su conjugada
  • se denomina que una forma hermítica f es positiva si a f (v, v)≥ 0[2]

Matriz asociadaEditar

Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal   y una base   del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:[3]

 

Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f:  . Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores   y   sería:

 

Nótese que por ser   un escalar, se verifica que

 

Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.

Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.

Demostración
El enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles.
  1. f es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
  2. f es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.

con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo u, v en V,

  1.   por un lado, y
  2.  .

Se demuestra cada proposición por separado.

  1.   por hipótesis,   luego

     

    como la igualdad es cierta para todo u, v tiene que ser

     .

     Escribimos nuevamente a f en forma matricial

     

    pero como por hipótesis  ,

     .

  2.   La prueba es análoga.

     

    por lo tanto  .

     Escribimos nuevamente a f en forma matricial

     

Forma cuadrática asociadaEditar

Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:

 

dado por

 

Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

NotasEditar

  1. a b Weisstein, Eric W. «Forma bilineal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 13 de abril de 2014. 
  2. Lugovaia et al Op. cit.
  3. (Merino y Santos , 2006, p. 270)

BibliografíaEditar

  • Merino, Luis; Santos, Evangelina (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Paraninfo. ISBN 9788497324816. 

Enlaces externosEditar