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Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial un número real, de una manera que generaliza la operación un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

Definición formalEditar

Una forma cuadrática es una aplicación   del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica   de   en el cuerpo   tal que  . A   se le llama forma polar de  .
b)  ,  . Además   es una forma bilineal simétrica definida en   y con valores en  . A   se la llama forma cuadrática asociada a  .

Una forma cuadrática es por tanto una aplicación   que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.

SignaturaEditar

Se llama signatura de una forma cuadrática   al par   donde   es el número de + 1 's que posee la diagonal de la matriz de la métrica simétrica asociada a   y   es el número de -1 's que posee dicha diagonal. El resto de los elementos (si  ) son 0 's. La existencia de una base de   en la que dicha matriz diagonalice de tal forma la asegura la Ley de inercia de Sylvester.

PropiedadesEditar

  • Cuando   se dice que la forma cuadrática es real.
  • Dos formas cuadráticas pueden ser:
    • Linealmente equivalentes en   si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
    • Linealmente equivalentes en   si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
    • Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
  • Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y solo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.

Forma cuadrática definidaEditar

Se dice que una forma cuadrática   es definida si para todo   se verifica:

 

siendo   la forma polar de la forma cuadrática.

En el caso antes mencionado, si una forma cuadrática es definida entonces:

  • o es definida positiva  
  • o es definida negativa  
Demostración
Se procederá por reducción al absurdo.

Supongamos que q es definida y que existen q(x)<0 y q(y)>0 y se busca  ,  

Desarrollando se tiene:

 

Despejando

 

Como q(x)<0 y q(y)>0 el discriminante es positivo y existe solución distinta de la trivial que verifica   con lo que se llega a un absurdo pues se supuso que la forma cuadrática era definida.

Una forma cuadrática es definida positiva (negativa) si todos los autovalores de su matriz asociada son positivos (negativos)

Demostración
Sea A la matriz asociada a la forma polar de la forma cuadrática. Entonces  

Dado que A es una matriz simétrica existe una base de autovectores ortogonales   con autovalores  .

En la base de autovectores se tiene  

Operando (omitiendo sumatorios):

 

Que es positivo (negativo) en general si y solo si  

Representación gráficaEditar

El caso de que  , una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto de cónicas. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.

A todos los vectores cuyo extremo caiga sobre la misma curva cuadrática se les asignará el mismo valor numérico.

Acotación de una forma cuadráticaEditar

Sea la forma cuadrática   definida por  , con   simétrica. Esta matriz es diagonalizable ortogonalmente siempre.


Si pensamos en la factorización   con   una matriz ortogonal compuesta por autovectores de   y   una matriz diagonal compuesta por los autovalores de   en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a:


 


Si llamamos  , entonces tenemos que  . Reemplazando en la ecuación anterior tenemos que:


 


Y sabemos que  , con   autovalor de  . Por lo que si el cambio de variables propuesto es tal que   tenemos que:


 


A este tipo de forma cuadrática se la llama "forma cuadrática sin productos cruzados".

Sean,   los autovalores de   ordenados de forma decreciente. Es decir,  . Entonces tenemos que:


 

 


Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que  . Por lo tanto:


 


Pero una de las propiedades fundamentales de las matrices ortogonales es que conservan el producto interno, pues en particular  . Entonces, finalmente tenemos que


 


Y ocurre que   cuando el vector   y también   cuando el vector  , siendo   y   los autoespacios asociados a los autovalores máximo y mínimo respectivamente.

ReferenciasEditar

  • Luis Merino, Evangelina Santos: Álgebra lineal con métodos elementales