Fórmula de Stirling

(Redirigido desde «Formula de Stirling»)

En matemáticas, la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor al matemático escocés del siglo XVIII James Stirling.

La diferencia relativa entre (ln x!) y (x ln x - x) tiende a cero al crecer x.

La aproximación se expresa como

para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural.

Formulación rigurosa

editar

La fórmula de Stirling está dada por:

 

que se reescribe frecuentemente como:

 

más exactamente la fórmula es como sigue:

 

donde el último término del producto(la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

La lista de los numeradores es: 1, -1, 1, -1, 1, -691, 1, -3617, 43867, -174611, ...

La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, ...

Desarrollando este último término también se puede reescribir la fórmula como:

 

Una acotación de la fórmula es:

 

Por ejemplo:

 
 
 
 

La fórmula resulta útil en diversas áreas como la mecánica estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas. Puesto que los sistemas macroscópicos típicos tienen del orden del número de Avogadro ( ) de partículas, la fórmula de Stirling resulta, en la práctica, exacta. Además la fórmula de Stirling es diferenciable, lo que permite el cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.

Véase también

editar

Enlaces externos

editar