Forzado de Sacks

La técnica de forcing, introducida por Paul Cohen, es utilizada para generar modelos de ZFC. La técnica comienza con un modelo $V$, conocido como modelo base, después fijando un orden parcial $\mathbb {P} \in V$, conocido como forcing, que codifica las condiciones deseadas del modelo que se desea construir, entonces se fuerza con $\mathbb {P}$ sobre $V$ para obtener un modelo genérico $V[G]$.

El forcing de Sacks, denotado por $\mathbb {S}$, es uno de estos órdenes parciales. Fue introducido en 1971 por el matemático estadounidense Gerald Enoch Sacks para producir un real a con mínimo grado real de constructibilidad (minimal real degree of constructibility). También es conocido como forcing de árboles perfectos.

Definición del forcing de Sacks

Para definir el forcing de Sacks, primero debemos definir la noción de árboles perfectos (un árbol $T$ de $2^{<\omega }$ es un conjunto de funciones finitas de $\omega$ en $2$ cerrado bajo segmentos iniciales de tal manera que para cualquier función en $T$ el conjunto de antecesoras es un orden lineal). Sea $p\subseteq 2^{<\omega }$ un árbol y $s\in p$, decimos que $s$ es un nodo de ramificación (nodo splitting) de $p$ si $s^{\smallfrown }0$, $s^{\smallfrown }1\in p$. Por otra parte $p$ es un árbol perfecto o un árbol de Sacks si $\forall s\in p\;\exists t\in p:s\subseteq t$ y $t$ es nodo de ramificación.

De esta manera el forcing de Sacks, denotado $\mathbb {S}$, es el conjunto de todos los árboles de Sacks ordenado por la contención, es decir, dados $p,q\in \mathbb {S}$, se cumple que $p\leq q\Longleftrightarrow p\subseteq q$.

Real de Sacks

Dado un árbol $T$ de $2^{<\omega }$, denotamos por $[T]$ al conjunto de las ramas de $T$, es decir, $[T]=\{x\in 2^{\omega }|\exists y\in T:y\subseteq x\}$.

Sea $G\subseteq \mathbb {S}$ un filtro genérico. En $V[G]$ se define al real de Sacks, $S_{gen}^{G}$, como el único elemento de $\bigcap _{p\in G}[p]$. Como su nombre lo indica $\mathbb {S} \Vdash S_{gen}^{G}\in 2^{\omega }$.

Es conocido que dado $p\in \mathbb {S}$, entonces $p\in G$ si y solo si $S_{gen}^{G}\in [p]$. Con lo cual $G$ y $S_{gen}^{G}$ son interdefinibles, lo cual implica que $V[G]=V[S_{gen}^{G}]$.

Más que lo anterior se cumple dados $G\subseteq \mathbb {S}$ un filtro $(V,\mathbb {S} )$-genérico y $x\in V[G]$ un real nuevo, existe $H\subseteq \mathbb {S}$ filtro $(V,\mathbb {S} )$-genérico tal que $v[H]=V[G]$ y $x=S_{gen}^{H}$ con lo cual $V[x]=V[H]=V[G]$ por tanto $\mathbb {S}$ tiene mínimo grado de constructibilidad real.

Propiedades del forcing de Sacks

• No es un forcing c.c.c. (es decir, no satisface la condición de cadena contable).
• Tiene estructura de axioma A, también conocido como axioma de Baumgartner. Para verificar esto, primero para cada $p\in \mathbb {S}$ denotamos ${\mathsf {split}}(p)=\{s\in p|s{\text{ es de ramificación en }}p\}$ y ${\mathsf {split}}_{n}(p)=\{s\in {\mathsf {split}}(p)|s{\text{ tiene exactamente }}n{\text{ antesesores en }}{\mathsf {split}}(p)\}$. Ahora, dados $n\in \omega$, $p,q\in \mathbb {S}$, se define $p\leq _{n}q$ si y solo si $p\leq q$ y ${\mathsf {split}}_{n}(q)={\mathsf {split}}_{n}(p)$. Con esta estructura, $\mathbb {S}$ es axioma A.

• No colapsa a $\aleph _{1}$.
• Es forcing propio.
• Es $\omega ^{\omega }$ bounding.
• Tiene la propiedad de Sacks
• Preserva p-puntos
• No añade splitting reals
• Preserva ultrafiltros de Ramsey

El modelo de Sacks

Dado $\alpha$ un ordinal, $\mathbb {S} _{\alpha }$ es la iteración de longitud $\alpha$ de $\mathbb {S}$ con soporte numerable, de este modo, el modelo de Sacks es el modelo obtenido al forzar con $\mathbb {S} _{\omega _{2}}$ sobre un modelo de CH.

Bibliografía

Halbeisen L. J. (2012). Combinatorial Set Theory. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-2173-2

Geschke S., Quickert S. (2004) On Sacks forcing and the Sacks property. In: Löwe B., Piwinger B., Räsch T. (eds) Classical and New Paradigms of Computation and their Complexity Hierarchies. Trends in Logic, vol 23. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2776-5_7