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Función diferenciable

tipo de función continua

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

DefiniciónEditar

Una función de múltiples variables   se dirá diferenciable en   si, siendo   un conjunto abierto en  , existe una transformación lineal   que cumpla:

 

Donde   cumple que:

 

Es decir,   es de orden más pequeño que   cuando   tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal   es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

 

Visualización geométricaEditar

De manera informal, si pensamos en la gráfica de una función de dos variables f(x,y) como una "sábana", diremos que f es diferenciable si la "sábana" no tiene puntos donde está "quebrada". Sin embargo esta ilustración sirve para una función diferenciable en su dominio. La función puede ser diferenciable en un punto (a,b) y no asemejarse en nada a una sábana en ese punto.

Funciones reales de una variableEditar

Una función real de una variable que admite derivada en todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua es trivialmente una función diferenciable. Por esa razón para funciones reales de una variable el concepto de función derivable y función diferenciable son básicamente equivalentes.

Sin embargo, para funciones de más de una variable la situación es más complicada. Ya que la existencia de derivadas no comporta que una función sea automáticamente diferenciable.

Ejemplos para funciones de dos variablesEditar

De función diferenciableEditar

f es diferenciable en   por ser una función con derivadas parciales continuas en   (condición suficiente para la diferenciabilidad).

 

De función derivable pero no diferenciableEditar

La función g(x,y) es continua en (0,0) y admite derivadas direccionales en (0,0) para toda dirección. Sin embargo, no es diferenciable en (0,0):

 

De función no continua y por lo tanto no diferenciableEditar

La función  no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto:

 

Función diferenciable de varias variablesEditar

Una aplicación vectorial entre varias variables de la forma   se dice diferenciable en un punto   si puede encontrarse una matriz  , llamada matriz jacobiana, que representa una aplicación lineal   tal que:

 

O de forma equivalente:

 

donde   es un punto de  ,es decir   y  , la transformación lineal, que viene dada por la matriz jacobiana de   en el punto  

En esas condiciones se puede ver la función   admite derivadas parciales de todas las variables y además resulta:

 

Función diferenciable entre variedadesEditar

ReferenciasEditar

  • Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase tambiénEditar