Derivada direccional

En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.

DefiniciónEditar

 
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación  , mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario   escalado por la derivada direccional en la dirección de   en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.

Definición generalEditar

La derivada direccional de una función real de n variables

 

en la dirección del vector

 

es la función definida por el límite:

 

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en términos de su gradiente  

 

donde « » denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto  , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por   en dicho punto.

Definición solo en la dirección de un vectorEditar

Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector   después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:

 

Si la función es diferenciable, entonces

 

Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de   por unidad de distancia. int a,b,c; a+b=c

Restricción al vector unitarioEditar

Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.

DemostraciónEditar

El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable  . La derivada direccional según la dirección de un vector unitario   es:

 


El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio   lo cual lleva, por ser diferenciable la función[1]f, a:

 

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

 

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector  :

 

Notaciones alternasEditar

La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:

 

donde   es la parametrización de una curva para la cual   es tangente y la cual determina su magnitud.

PropiedadesEditar

Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones   y   definidas en la vecindad de un punto  , donde son diferenciables:

  • Regla de la suma:
 
  • Regla del factor constante:
 

donde   es cualquier constante.

 
  • Regla de la cadena: Si   es diferenciable en el punto   y   es diferenciable en  , entonces:
 

Campos vectorialesEditar

El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de   en  , del tipo

 

En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:

 

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación

 

es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:

 

FuncionalesEditar

La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.

ReferenciasEditar

  1. Si la función no es diferenciable entonces las derivadas parciales no son continuas y esta demostración no es válida, Bombal, R. Marín, Vera, p. 4
  • Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase tambiénEditar