Función simétrica

En matemáticas, una función en $n$ variables se dice simétrica si su valor no cambia al modificar el orden de sus argumentos. Por ejemplo, una función $f\left(x_{1},x_{2}\right)$ de dos variables es una función simétrica si y sólo si $f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)$ para cualesquiera $x_{1}$ y $x_{2}$ tales que $\left(x_{1},x_{2}\right)$ y $\left(x_{2},x_{1}\right)$ están en el dominio de $f.$ Las funciones simétricas más importantes son las polinómicas, que vienen dadas por los polinomios simétricos.

Una noción relacionada es la de polinomio alterno, que se refiere a un polinomio que cambia de signo al intercambiar dos variables. Además de las funciones polinómicas, los tensores que actúan como funciones de varios vectores también pueden ser simétricos, y de hecho el espacio de los $k$-tensores simétricos sobre un espacio vectorial $V$ es isomorfo al espacio de polinomios homogéneos de grado $k$ sobre $V.$ No debe confundirse el concepto con el de funciones pares e impares, que tienen un tipo diferente de simetría.

Simetrización

Dada cualquier función $f$ en $n$ variables que toma valores en un grupo abeliano, se puede construir una función simétrica sumando los valores de $f$ sobre todas las $n!$ permutaciones de sus argumentos. De manera similar, se puede construir una función antisimétrica sumando en las permutaciones pares y restando la suma en las permutaciones impares. Estas operaciones, por supuesto, no son invertibles, y bien podrían dar como resultado una función que es idénticamente cero para funciones no triviales. El único caso general en el que $f$ se puede recuperar si se conocen tanto su simetrización como su antisimetrización es cuando $n=2$ y el grupo abeliano admite división por 2 (inversa de la duplicación); en ese caso $f$ es igual a la mitad de la suma de su simetrización y su antisimetrización.

Ejemplos

• Se considera la función real dada por:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).$$

Por definición, una función simétrica en $n$ variables tiene la siguiente propiedad:

$$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n}),\quad {\text{etc.}}$$En general, la función se mantiene igual bajo cualquier permutación de sus variables. Esto significa que, en este caso,

$$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$$

y así sucesivamente, para todas las permutaciones de $x_{1},x_{2},x_{3}$.

• La función

$$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}$$cumple que, al intercambiar $x$ e $y$, se obtiene $f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}$, que da exactamente los mismos resultados que la original $f(x,y)$.

• Si $f$ viene ahora dada por

$$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}$$.

Si se intercambian las variables, $f$ se convierte en $f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}$. Esta función no coincide con la original si $a\neq b$, y por lo tanto no es simétrica.

Aplicaciones

Estadística

En estadística, un estadístico $n$-muestral (una función en $n$ variables) que se obtiene simetrizando mediante bootstrapping un estadístico $k$-muestral, produciendo una función simétrica en $n$ variables, se llama estadístico U. Algunos ejemplos son la media muestral y la varianza muestral.

Véase también

• Polinomio simétrico
• Polinomio simétrico elemental
• Polinomio alterno
• Simetrización y antisimetrización de tensores
• Funciones pares e impares - Funciones matemáticas con simetrías específicas
• Polinomio de Vandermonde (determinante de la matriz de Vandermonde)

Bibliografía

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.

• Datos: Q981351