Funciones elípticas de Weierstraß

En el ámbito de las matemáticas, las funciones elípticas de Weierstraß son un grupo de funciones elípticas que poseen una forma particularmente simple (cf. funciones elípticas de Jacobi); han sido designadas en honor al matemático Karl Weierstraß. Esta clase de funciones es también llamada funciones P y generalmente se las escribe utilizando el símbolo (que corresponde a una letra P estilizada, llamada P de Weierstraß).

Símbolo de la función P de Weierstrass P.

Definiciones

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La función P de Weierstrass definida sobre una porción del plano complejo utilizando una técnica usual de visualización en la cual el blanco corresponde a un polo, negro a un cero, y la máxima saturación a   Notar la retícula regular de los polos, y dos retículas que se entrecruzan de ceros.

Se puede definir a la función elíptica de Weierstraß de tres maneras muy similares, cada una de ellas posee ciertas ventajas. Una es como una función de variable compleja   y una retícula   en el plano complejo. Otra es en término de   y dos números complejos   y   que definen un par de generadores, o períodos, de la retícula. La tercera es en término de   y de un módulo   en el semiplano superior. Esta se relaciona con la definición previa mediante la siguiente expresión  , la cual en virtud de la convención usual de pares de períodos se encuentra en el semiplano superior. Utilizando este método, para un   fijo las funciones de Weierstrass resultan ser funciones modulares de  .

Considerando los dos períodos, la función elíptica de Weierstraß es una función elíptica con períodos   y   definida como

 

Entonces   son los puntos de la retícula de período, por lo que

 

para todo par de generadores de la retícula define la función de Weierstraß como una función de una variable compleja y una retícula.

Si   es un número complejo en el semiplano superior, entonces

 

La suma indicada previamente es homogénea con un grado menos dos, con lo cual se puede definir la función   de Weierstraß para todo par de períodos, como

 

Bibliografía

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Referencias

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Enlaces externos

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