Glosario de la teoría de tensores

Este glosario de teoría de tensores recoge el significado de los principales términos utilizados en el campo de los tensores. Para más detalles sobre la teoría de los tensores desde diferentes puntos de vista, consúltese:

Para conocer un poco de la historia de la teoría abstracta, véase también álgebra multilineal.

Notación clásica

Cálculo de Ricci: Es el fundamento más antiguo de la teoría tensorial, e introdujo la notación tensorial con índices.^[1]

Orden de un tensor: Los componentes de un tensor con respecto a una base son una matriz indexada. El orden de un tensor es el número de índices necesarios. Algunos textos pueden referirse al orden de los tensores utilizando el término grado o rango.

Rango de un tensor: El rango de un tensor es el número mínimo de tensores de rango uno que se deben sumar para obtener el tensor. Un tensor de rango uno puede definirse como expresable mediante el producto externo del número de vectores distintos de cero necesarios para obtener el orden correcto.

Tensor diádico: Un tensor diádico es un tensor de orden dos y puede representarse como una matriz cuadrada. Por el contrario, una díada es específicamente un tensor diádico de rango uno.

Convenio de suma de Einstein: Esta notación se basa en el entendimiento de que siempre que una matriz multidimensional contiene una letra de índice repetida, la interpretación predeterminada es que el producto se suma a todos los valores permitidos del índice. Por ejemplo, si a_ij es una matriz, entonces, según esta convención, a_ii es su traza. La convención de Einstein se usa ampliamente en textos de física e ingeniería, hasta el punto de que si no se va a aplicar la suma, es normal señalarlo explícitamente.

Delta de Kronecker

Símbolo de Levi-Civita

Tensor covariante

Tensor contravariante: La interpretación clásica es por componentes. Por ejemplo, en la forma diferencial a_idxⁱ las componentes a_i son un vector covariante. Eso significa que todos los índices son subíndices; contravariante significa que todos los índices son superíndices.

Tensor mixto: Denominación de cualquier tensor que tenga índices tanto inferiores como superiores.

Tensor cartesiano: Los tensores cartesianos se utilizan ampliamente en varias ramas de la mecánica de medios continuos, como la mecánica de fluidos y la elasticidad. En la mecánica de medios continuos clásica, el espacio considerado suele ser el espacio euclídeo tridimensional, al igual que el espacio tangente en cada punto. Si se restringen las coordenadas locales a coordenadas cartesianas con la misma escala centrada en el punto de interés, el tensor métrico es la delta de Kronecker. Esto significa que no hay necesidad de distinguir componentes covariantes y contravariantes y, además, no hay necesidad de distinguir tensores y densidades tensoriales. Todos los índices de un tensor cartesiano figuran como subíndices. Los tensores cartesianos implican una simplificación computacional considerable a costa de la generalidad y de cierta comprensión teórica.

Contracción de un tensor

Ley de subir o bajar índices (tensores)

Tensor simétrico

Tensor antisimétrico

Producto mixto

Notación algebraica

Esto evita el uso inicial de componentes y se distingue por el uso explícito del símbolo del producto tensorial.

Producto tensorial

Si v y w son vectores en los espacios vectoriales V y W respectivamente, entonces

v\otimes w

es un tensor en

V\otimes W.

Es decir, la operación ⊗ es binaria, pero lleva valores a un espacio nuevo (es en un sentido estricto externo). La operación ⊗ es bilineal; pero no se le aplican otras condiciones.

Tensor puro: Un tensor puro de V ⊗ W es aquel que tiene la forma v ⊗ w.; Podría escribirse diádicamente aⁱb^j, o más exactamente aⁱb^jei ⊗ f'_j, donde los e_i son una base de V y los f_j son una base de W. Por lo tanto, a menos que V y W tengan la misma dimensión, no es necesario que la matriz de componentes sea cuadrada. Estos tensores puros no son genéricos: si tanto V como W tienen una dimensión mayor que 1, habrá tensores que no serán puros y deberán establecerse condiciones no lineales para que un tensor sea puro. Para obtener más información, consúltese embebido de Segre.

Álgebra tensorial: En el álgebra tensorial T(V) de un espacio vectorial V, la operación $\otimes$ se convierte en una operación binaria normal (interna). Una consecuencia es que T(V) tiene dimensión infinita a menos que V tenga dimensión 0. El álgebra libre en un conjunto X es, a efectos prácticos, igual que el álgebra tensorial en el espacio vectorial con X como base.

Operador estrella de Hodge

Energía exterior

El producto exterior es la forma antisimétrica de la operación ⊗. El espacio cociente de T(V) en el que se convierte en operación interna es el producto exterior de V; es un álgebra graduada, y la pieza graduada de peso k se denomina k-ésima potencia exterior de V.

Potencia simétrica, álgebra simétrica: Es la forma invariante para construir un anillo de polinomios.

Aplicaciones

Tensor métrico

Tensor de deformación

Tensor de energía-impulso

Teoría de campos tensoriales

Matriz y determinante jacobianos

Campo tensorial

Densidad tensorial

Derivada de Lie

Derivada covariante

Geometría diferencial

Álgebra abstracta

Producto tensorial de campos: Es una operación entre campos, que no siempre produce otro campo.

Producto tensorial de R-álgebras

Representaciones de álgebras de Clifford: Representación de un álgebra de Clifford que permite una realización de un álgebra de Clifford como un álgebra matricial.