Hectágono

polígono de 100 lados

En geometría, un hectágono o hecatontágono o 100-gono[1][2]​ es un polígono[3][4]​ de cien lados. La suma de todos los ángulos interiores del hectágono es de 17.640 grados. Como todos los polígonos regulares de un número elevado de lados, se asemeja visualmente a una circunferencia.

Hectágono
Hectagon.png
Un hectágono regular
Características
Tipo Polígono regular
Lados 100
Vértices 100
Grupo de simetría , orden 2x100
Símbolo de Schläfli {100}, t{50}, tt{25} (triacontágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 1x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel 0x.pngCDel node 1.png
Polígono dual Autodual
Área
(lado )
Ángulo interior 176.4°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

Hectágono regularEditar

Un hectágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {100} y puede construirse como un pentacontágono truncado, t{50}, o un icosipentágono truncado dos veces, tt{25}.

El ángulo interior en un hectágono regular es 17625°, lo que significa que un ángulo exterior vale 335°.

El área de un hectágono regular es (con t = longitud del lado)

 

y su inradio es

 

El circunradio de un hectágono regular vale

 

Dado que 100 = 22 × 52, el número de lados contiene un número de Fermat repetido (el número 5). Por lo tanto, el hectágono regular no es un polígono construible utilizando solo regla y compás.[5]​ De hecho, ni siquiera es construible con el uso de una trisección angular, ya que el número de lados no es un producto de primos de Pierpoint distintos, ni un producto de potencias de dos y tres.[6]​ No se sabe si el hectágono regular es construible mediante neusis.

Construcción exacta con ayuda de la cuadratriz de HipiasEditar

 
Hectágono, construcción exacta usando la cuadratriz de Hipias como ayuda adicional

SimetríaEditar

 
Las simetrías de un hectágono regular. Las líneas de color azul claro muestran los subgrupos del índice 2. Las 3 subgrafías en caja están relacionadas posicionalmente por los subgrupos del índice 5

El hectágono regular se corresponde con el grupo diedral Dih100 de orden 200, representado por 100 líneas de reflexión. Dih100 tiene 8 subgrupos diédricos: (Dih50, Dih25), (Dih20, Dih10, Dih5), (Dih4, Dih2 y Dih1). También tiene 9 simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z100, Z50, Z25), (Z20, Z10, Z5) y (Z4, Z2, Z1), con Zn representando π/'n' simetría.

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra.[7]r200 representa la simetría completa y a1 no etiqueta simetría alguna. Denota con d (diagonal) las líneas de espejo a través de vértices, p para las líneas de espejo a través de bordes (perpendiculares), i a las líneas de espejo a través de vértices y bordes, y g para la simetría rotacional.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de hectágonos irregulares. Solo el subgrupo g100 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un grafo dirigido.

DisecciónEditar

 
100-gono con 4900 rombos

Harold Scott MacDonald Coxeter establece que cada zonágono (un 2m-gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m(m-1)/2 paralelogramos.[8]​ En particular, esto es cierto para polígonos regulares de muchos lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el hectágono regular, m=50, se puede dividir en 1225: 25 cuadrados y 24 conjuntos de 50 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección en forma de polígono de Petrie de un hipercubo.

Ejemplos
   

HectagramaEditar

Un hectagrama es una estrella de 100 lados. Hay 19 formas regulares[9]​ dados por los símbolos de Schläfli {100/3}, {100/7}, {100/9}, {100/11}, {100/13}, {100/17}, {100/19}, {100/21}, {100/23}, {100/27}, {100/29}, {100/31}, {100/33}, {100/37}, {100/39}, {100 / 41}, {100/43}, {100/47} y {100/49}, así como otras 30 estrellas regulares con la misma configuración de vértices.

Estrellas regulares {100/k}
Imagen  
{100/3}
 
{100/7}
 
{100/11}
 
{100/13}
 
{100/17}
 
{100/19}
Ángulo interior 169.2° 154.8° 140.4° 133.2° 118.8° 111.6°
Imagen  
{100/21}
 
{100/23}
 
{100/27}
 
{100/29}
 
{100/31}
 
{100/37}
Ángulo interior 104.4° 97.2° 82.8° 75.6° 68.4° 46.8°
Imagen  
{100/39}
 
{100/41}
 
{100/43}
 
{100/47}
 
{100/49}
 
Ángulo interior 39.6° 32.4° 25.2° 10.8° 3.6°  

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Patricia Barnes-Svarney, Thomas E Svarney (2012). The Handy Math Answer Book. Visible Ink Press. p. 528. ISBN 9781578593866. Consultado el 30 de abril de 2020. 
  2. David Salomon (2011). The Computer Graphics Manual. Springer Science & Business Media. pp. 90 de 1496. ISBN 9780857298867. Consultado el 30 de abril de 2020. 
  3. Gorini, Catherine A. (2009), The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing, p. 110, ISBN 9781438109572 ..
  4. The New Elements of Mathematics: Algebra and Geometry by Charles Sanders Peirce (1976), p.298
  5. Constructible Polygon
  6. «Archived copy». Archivado desde el original el 14 de julio de 2015. Consultado el 19 de febrero de 2015. 
  7. The Symmetries of Things, Chapter 20
  8. Harold Scott MacDonald Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
  9. 19 = 50 casos - 1 (convexo) - 10 (múltiplos de 5) - 25 (multiplos de 2)+ 5 (múltiplos de 2 y 5)

Enlaces externosEditar

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