Hipercubo

politopo convexo
Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para la película, véase Cube 2: Hypercube. Para la arquitectura de computadora, véase Máquina de conexión. Para la topología entre redes, véase Topología entre redes Hypercube. Para el objeto de cuatro dimensiones conocido como hipercubo, véase Teseracto.
Perspectivas
Hexahedron.svg Hypercube.svg
Cubo (3-cubo) Teseracto (4-cubo)

En geometría, un "hipercubo" es un elemento n-dimensional análogo a un cuadrado (n = 2) o a un cubo (n = 3). Es una figura cerrada, compacta y convexa, cuyo 1-esqueleto consiste en grupos de segmentos rectos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones, perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unidad en n dimensiones es igual a .

Un hipercubo n-dimensional se conoce más comúnmente como n-cubo, o también como un cubo n-dimensional. El término politopo de medida (originalmente acuñado por Elte, 1912)[1]​ es usado especialmente en el trabajo de H. S. M. Coxeter, que también etiqueta los hipercubos como γn politopos.[2]

El hipercubo es un caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotopo).

Un "hipercubo unitario" es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud unidad. A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices) son los puntos 2n en R'n con cada coordenada igual a 0 o a 1 se llama hipercubo unidad.

ConstrucciónEditar

 
Diagrama que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto
 
Animación de la creación de un teseracto a partir de un punto

Los hipercubos se pueden caracterizar en función de la dimensión en la que se definen:

0 - Un punto es un hipercubo de dimensión cero.
1 - Si se mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de recta, que es un hipercubo de unidad de dimensión uno.
2 - Si se mueve este segmento de recta su longitud en una dirección perpendicular a sí mismo; barre un cuadrado bidimensional.
3 - Si se mueve el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, generará un cubo tridimensional.
4 - Si se mueve el cubo una unidad de longitud perpendicular en la cuarta dimensión, genera un hipercubo unidad de 4 dimensiones (un teseracto unidad).

Esto se puede generalizar a cualquier cantidad de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes puede formalizarse matemáticamente como una suma de Minkowski: el hipercubo d dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos rectos de longitud unidad perpendiculares entre sí, y por lo tanto, es un ejemplo de zonotopo.

El 1-equeleto de un hipercubo es su grafo.

CoordenadasEditar

Un hipercubo unitario de dimensiones n es la envolvente convexa de los puntos dados por todas las permutaciones de signos de las coordenadas cartesianas  . Tiene una longitud de arista de 1 y un volumen n dimensional de 1.

Un hipercubo n dimensional también se considera a menudo como la envolvente convexa de todas las permutaciones de signos de las coordenadas  . Esta fórmula a menudo se elige debido a la facilidad de escribir las coordenadas. Su longitud de arista es 2 y su volumen n dimensional es 2n.

ElementosEditar

Cada n-cubo con n> 0 está compuesto por un conjunto de elementos formado por n-cubos de una dimensión inferior, situados en la superficie (n-1) dimensional del hipercubo original. Un lado o borde es cualquier elemento de dimensión (n-1) del hipercubo original. Un hipercubo de dimensión n tiene 2n bordes (un segmento unidimensional tiene 2 puntos finales; un cuadrado bidimensional tiene 4 lados o bordes; un cubo tridimensional tiene 6 caras bidimensionales; un teseracto de cuatro dimensiones tiene 8 celdas cúbicas). El número de vértices (puntos) de un hipercubo es   (un cubo, por ejemplo, tiene   vértices).

El número de hipercubos m dimensionales (de aquí en adelante los hipercubos se van a denominar m-cubos) en el límite de un n-cubo es

 , [3]​   donde   y   denota el factorial de  .

Por ejemplo, el límite de un 4-cubo (n=4) contiene 8 cubos (o 3-cubos), 24 cuadrados (o 2-cubos), 32 segmentos (o 1-cubos) y 16 vértices (o 0-cubos).

Esta identidad puede ser probada mediante argumentos combinatorios; cada uno de los   vértices define otro vértice en un contorno m-dimensional. Existen   formas de elegir qué líneas ("lados") definen el subespacio en el que se encuentra el límite. Pero cada lado se cuenta   veces, en función del número de vértices, por lo que es necesario dividir por este número.

Esta identidad también se puede usar para generar la fórmula para el área de superficie del n-cubo. El área de superficie de un hipercubo es:  .

Estos números también pueden ser generados por la relación de recurrencia lineal

 ,   con  , y elementos indefinidos (donde  ,   o  )  .

Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices agrega una línea adicional (borde) por vértice, y también agrega el segundo cuadrado final, para formar un cubo, dando   = 12 lados en total.

Elementos Hipercúbicos   (sucesión A038207 en OEIS)
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n n-cubo Nombres Schläfli
Coxeter
Vértices
0-caras
Aristas
1-caras
Caras
2-caras
Celdas
3-caras

4-caras

5-caras

6-caras

7-caras

8-caras

9-caras

10-caras
0 0-cubo Punto
Monón
( )
 
1
1 1-cubo Segmento
Dion[4]
{}
 
2 1
2 2-cubo Square
Tetragono
{4}
   
4 4 1
3 3-cubo Cubo
Hexaedro
{4,3}
     
8 12 6 1
4 4-cubo Teseracto
Octacoron
{4,3,3}
       
16 32 24 8 1
5 penteracto Penteract
Deca-5-topo
{4,3,3,3}
         
32 80 80 40 10 1
6 hexeracto Hexeract
Dodeca-6-topo
{4,3,3,3,3}
           
64 192 240 160 60 12 1
7 hepteracto Hepteract
Tetradeca-7-topo
{4,3,3,3,3,3}
             
128 448 672 560 280 84 14 1
8 octoracto Octeract
Hexadeca-8-topo
{4,3,3,3,3,3,3}
               
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 eneracto Eneracto
Octadeca-9-topo
{4,3,3,3,3,3,3,3}
                 
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 decaracto Dekeract
Icosa-10-topo
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
                   
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

GráficosEditar

Se puede representar un n-cubo en un plano mediante una proyección ortogonal oblicua, generando una serie de polígonos 2n-gonales. En la siguiente tabla se muestran los casos comprendidos entre el segmento recto y el cubo de dimensión 15.

Proyecciones ortogonales (Polígonos de Petrie)
 
Segmento
 
Cuadrado
 
Cubo
 
Teseracto
 
Penteracto
 
Hexeracto
 
Hepteracto
 
Octoracto
 
Eneracto
 
Decaracto
 
11-cubo
 
12-cubo
 
13-cubo
 
14-cubo
 
15-cubo
 
Proyección de un teseracto en rotación

Familias relacionadas de politoposEditar

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se pueden construir para cualquier número de dimensiones.

La familia del hipercubo (orlado) es una de las tres familias de politopos regulares, etiquetada por Harold Scott MacDonald Coxeter como γn. Las otras dos son la familia dual del hipercubo, los politopos de cruce, etiquetados como βn, y los símplices, etiquetados como αn. Una cuarta familia, formada por las teselaciones infinitas de hipercubos, la calificó como δn.

Otra familia relacionada de y politopos uniformes y semiregulares son los demihipercubos, que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternativos eliminados y facetas con forma de símplex agregadas en los huecos, etiquetados como n.

Los n-cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos de cruce) para formar politopos compuestos:

Relación con (n-1)-símplicesEditar

La gráfica de los n-bordes del hipercubo es isomorfa con el diagrama de Hasse de la retícula de facetas (n-1)-símplex. Esto se puede ver orientando el n hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al (n-1)-simplex en sí mismo y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna únicamente a una de las facetas (n-1)-símplex (n-2 caras), y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a uno de los símplex n-3 caras, y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del símplex.

Esta relación se puede utilizar para generar la red de caras de un (n-1)-símplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a los politopos generales son más costosos computacionalmente.

Hipercubos generalizadosEditar

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo con el nombre de "hipercubos generalizados", γ p
n
= p {4} 2 {3} ... 2 {3} 2, o     ..    . Existen soluciones reales con p=2, es decir γ 2
n
= γ n = 2 {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 = {4,3, .., 3}. Para p>2, existen en  . Las facetas están generalizadas (n-1)-cubos y las figuras de vértices son símplices regulares.

El perímetro del polígono regular resultante de estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie. Los cuadrados generalizados (n=2) se muestran con bordes delineados como rojo y azul alternando el color de los p-bordes, mientras que los n-cubos más altos se dibujan con los p-bordes delineados en negro.

El número de elementos de m-caras en un p-generalizado n-cubo son:  . Esta relación implica que siempre aparezcan p n vértices y pn facetas.[5]

Hipercubos generalizados
p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 p=8
   
γ2
2
= {4} =    
4 vértices
   
γ3
2
=    
9 vértices
 
γ4
2
=    
16 vértices
 
γ5
2
=    
25 vértices
 
γ6
2
=    
36 vértices
 
γ7
2
=    
49 vértices
 
γ8
2
=    
64 vértices
   
γ2
3
= {4,3} =      
8 vértices
   
γ3
3
=      
27 vértices
 
γ4
3
=      
64 vértices
 
γ5
3
=      
125 vértices
 
γ6
3
=      
216 vértices
 
γ7
3
=      
343 vértices
 
γ8
3
=      
512 vértices
   
γ2
4
= {4,3,3}
=        
16 vértices
   
γ3
4
=        
81 vértices
 
γ4
4
=        
256 vértices
 
γ5
4
=        
625 vértices
 
γ6
4
=        
1296 vértices
 
γ7
4
=        
2401 vértices
 
γ8
4
=        
4096 vértices
   
γ2
5
= {4,3,3,3}
=          
32 vértices
   
γ3
5
=          
243 vértices
 
γ4
5
=          
1024 vértices
 
γ5
5
=          
3125 vértices
 
γ6
5
=          
7776 vértices
γ7
5
=          
16,807 vértices
γ8
5
=          
32,768 vértices
   
γ2
6
= {4,3,3,3,3}
=            
64 vértices
   
γ3
6
=            
729 vértices
 
γ4
6
=            
4096 vértices
 
γ5
6
=            
15,625 vértices
γ6
6
=            
46,656 vértices
γ7
6
=            
117,649 vértices
γ8
6
=            
262,144 vértices
   
γ2
7
= {4,3,3,3,3,3}
=              
128 vértices
   
γ3
7
=              
2187 vértices
γ4
7
=              
16,384 vértices
γ5
7
=              
78,125 vértices
γ6
7
=              
279,936 vértices
γ7
7
=              
823,543 vértices
γ8
7
=              
2,097,152 vértices
   
γ2
8
= {4,3,3,3,3,3,3}
=                
256 vértices
   
γ3
8
=                
6561 vértices
γ4
8
=                
65,536 vértices
γ5
8
=                
390,625 vértices
γ6
8
=                
1,679,616 vértices
γ7
8
=                
5,764,801 vértices
γ8
8
=                
16,777,216 vértices

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Elte, E. L. (1912). «IV, Five dimensional semiregular polytope». The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Netherlands: Universidad de Groninga. ISBN 141817968X. 
  2. Coxeter, 1973, §7.2 see illustration Fig 7.2C.
  3. Coxeter, 1973, §7·25.
  4. Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224.
  5. Coxeter, H. S. M. (1974), Regular complex polytopes, London & New York: Cambridge University Press, p. 180, MR 0370328 .

BibliografíaEditar

  • Bowen, J. P. (April 1982). «Hypercube». Practical Computing 5 (4): 97-99. Archivado desde el original el 30 de junio de 2008. Consultado el 30 de junio de 2008. 
  • Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3rd edición). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Tabla I (iii): Polytopes regulares, tres polytopes regulares en dimensiones n ( n  ≥ 5)
  • Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9.  Cf Capítulo 7.1 "Representación cúbica de funciones booleanas" en el que la noción de "hipercubo" se introduce como un medio de demostrar un código de distancia 1 (Código Gray) como los vértices de un hipercubo, y luego el hipercubo con sus vértices así etiquetados se aplasta en dos dimensiones para formar un mapa de Karnaugh.

Enlaces externosEditar

Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en las dimensiones 2–10
An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Triángulo Cuadrado p-gono Hexágono Pentágono
Tetraedro OctaedroCubo Demicubo DodecaedroIcosaedro
Pentácoron HexadecacoronTeseracto Demiteseracto Icositetracoron HecatonicosacoronHexacosicoron
5-símplex 5-ortoplexPenteracto 5-demicubo
6-símplex 6-ortoplexHexeracto 6-demicubo 122221
7-símplex 7-ortoplexHepteracto 7-demicubo 132231321
8-símplex 8-ortoplexOctoracto 8-demicubo 142241421
9-símplex 9-ortoplexEneracto 9-demicubo
10-símplex 10-ortoplexDecaracto 10-demicubo
n-símplex n-ortoplexn-cubo n-demicubo 1k22k1k21 n-politopo pentagonal
Relacionados: Familias de politoposPolitopo regularAnexo:Lista de politopos regulares y compuestos
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