Homología de Hochschild

En matemáticas, la homología (y cohomología) de Hochschild es una teoría de homología para álgebras asociativas sobre anillos. Existe también una teoría de la homología de Hochschild sobre ciertos funtores. La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild para álgebras sobre un cuerpo, y generalizada sobre anillos por Cartan y Eilenberg (1956).

Definición de la homología de Hochschild de un álgebra

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Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa, y M un A-bimódulo. El álgebra envolvente de A es el producto tensor Ae=AAo de A con su álgebra opuesta. Los bimódulos sobre A son esencialmente los módulos sobre el álgebra envolvente de A, así que, en particular, A y M pueden considerarse como Ae-módulos.Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del funtor Tor y el funtor Ext como

 
 

Complejo de Hochschild

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Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa que es un k-módulo proyectivo, y M un A-bimódulo. Escribiremos el producto tensor de n copias de A sobre k como An . El complejo de cadenas que da lugar a la homología de Hochschild viene dado por

 

con operadores de frontera di definidos por

 
 
 

Donde ai está en A para cada 1 ≤ in y mM. Si tomamos

 

entonces b ° b = 0, así que (Cn(A,M), b) es un complejo de cadenas llamado complejo de Hochschild, y su homología es la homología de Hochschild de A coeficientes en M.

Observación

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Las aplicaciones di son operadores frontera que hacen a la familia de módulos Cn(A,M) un objeto simplicial en la categoría de k-módulos. Esto es, hay un funtor Δok-mod, donde Δ es la categoría simplicial y k-mod es la categoría de los k-módulos. Aquí, Δo es la categoría opuesta de Δ. Las aplicaciones degeneradas están definidas por si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an. La homología de Hochschild es la homología de este módulo simplicial.


Referencias

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