En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:
Para cualesquiera números
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
{\displaystyle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}}
(
a
1
2
+
a
2
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
)
=
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
)
2
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}
La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.
Si
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}
reales o complejos ) entonces
(
∑
k
=
1
n
a
k
2
)
(
∑
k
=
1
n
b
k
2
)
=
(
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
)
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}
En anillos conmutativos
editar
La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo .
Prueba mediante desarrollo algebraico
Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado:
(
∑
k
=
1
n
x
k
)
2
=
∑
k
=
1
n
x
k
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
2
x
i
x
j
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2x_{i}x_{j}}
sustituyendo
x
k
{\displaystyle x_{k}}
a
k
b
k
{\displaystyle a_{k}b_{k}}
(
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
)
2
=
∑
k
=
1
n
a
k
2
b
k
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
2
a
i
b
j
a
j
b
i
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}}
Por otro lado, del binomio al cuadrado
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
=
a
i
2
b
j
2
−
2
a
i
b
j
a
j
b
i
+
a
j
2
b
i
2
{\displaystyle (a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}}
2
a
i
b
j
a
j
b
i
=
a
i
2
b
j
2
+
a
j
2
b
i
2
−
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
{\displaystyle 2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}
y sustituyendo en la suma previa resulta en
(
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
)
2
=
∑
k
=
1
n
a
k
2
b
k
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
2
b
j
2
+
a
j
2
b
i
2
)
−
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}
Pero
∑
k
=
1
n
a
k
2
b
k
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
2
b
j
2
+
a
j
2
b
i
2
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})}
a
2
b
2
{\displaystyle a^{2}b^{2}}
∑
k
=
1
n
a
k
2
b
k
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
2
b
j
2
+
a
j
2
b
i
2
)
=
(
∑
k
=
1
n
a
k
2
)
(
∑
k
=
1
n
b
k
2
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}
Haciendo la sustitución arroja finalmente
(
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
)
2
=
(
∑
k
=
1
n
a
k
2
)
(
∑
k
=
1
n
b
k
2
)
−
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}
equivalente a la identidad que queremos demostrar.
editar
Si consideramos los números
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}
vectores en
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
a
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
,
b
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}
entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar , pues
‖
a
‖
2
=
(
∑
k
=
1
n
a
k
2
)
,
‖
b
‖
2
=
(
∑
k
=
1
n
b
k
2
)
{\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right),\qquad \Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}
y
a
⋅
b
=
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}
de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:
Si
a
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
,
b
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
‖
a
‖
2
‖
b
‖
2
=
(
a
⋅
b
)
2
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
2
{\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}}
Sin embargo, cuando
n
=
3
{\displaystyle n=3}
producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:
Si
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
,
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
‖
a
‖
2
‖
b
‖
2
=
(
a
⋅
b
)
2
+
|
a
×
b
|
2
{\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}}
Datos: Q1206853