Norma vectorial

En geometría y física, una norma en un espacio vectorial es un operador que permite definir la longitud de cualquier vector. Más concretamente, dado un espacio vectorial , una función de en el conjunto de los números reales no negativos se dice que es una norma si se anula únicamente en el vector nulo y satisface la desigualdad triangular y una especie de homogeneidad.

El ejemplo por antonomasia es la norma euclídea en , definida mediante

y que se interpreta como la distancia en línea recta al cero. No obstante, en un mismo espacio vectorial puede haber muchas maneras de definir una norma. Cada una de ellas le confiere una estructura distinta de espacio normado. De hecho, en existen normas no euclídeas como la norma l1.

Todo producto escalar produce una norma definida como . Cualquier norma en genera una distancia en —o en el espacio afín asociado— mediante .

Definición de norma euclídeaEditar

En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia euclídea (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector  .

  • En dos dimensiones:
  siendo   y   y O el origen de coordenadas de dicho espacio.
  • Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:
  siendo   y  
  • En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene:
  siendo   y  .

De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal   en la que un vector   viene dado por sus componentes en esta base,  , entonces la norma de dicho vector viene dada por:

 

Definiciones de normaEditar

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:

  • Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.
  • La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
  • La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado, también generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz). Se presentan dos maneras de forma, una casi directa y apunta a lo dicho: longitud de vector. La otra usa la noción de operador y mayor simbolismo de la matemática formal (tipo Bourbaki).

Esto motiva la siguiente

Definición general

Sea   un espacio vectorial sobre un cuerpo   (o cualquier otro cuerpo donde haya definida una función valor absoluto). Se dice que

 

es un operador norma si cumple:

  1. Para todo   de   su norma ha de ser no negativa, y será cero si y sólo si   es el vector cero:   si   y  .
  2. Para todo   de   y para todo   de   se satisface que   ·  .[1]
  3. Para todos   e   de   se cumple que   (desigualdad triangular).

Al número   se le llama norma del vector  . Al par   se le denomina espacio normado.

EjemplosEditar

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

  • Para un vector   se define la norma-p como:

 

Así, para el caso   se obtiene  , y para el caso   se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

  • Otro operador norma sería, la norma infinito:

 

Donde  . Para un espacio de dimensión infinita numerable se podría escribir:

 

La elección del subíndice   para esta norma se debe al hecho de que:

 

  donde x* es el complejo conjugado de x

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

Distancia asociadaEditar

Dada una norma   en un espacio vectorial  , se puede definir una distancia asociada mediante

 

Esto dota a   de estructura de espacio métrico, y por consiguiente de espacio topológico. Es decir, en un espacio normado siempre tiene sentido el concepto de cercanía. El límite de una sucesión tiene una caracterización especialmente útil:

 

En   todas las normas son equivalentes desde el punto de vista de la convergencia. Esto es, para dos normas cualesquiera   y   existen dos constantes   y   tales que

  y   para todo   [2]

En consecuencia, todas las normas en   generan la misma topología.

Otras normasEditar

Norma de Lebesgue

  en el espacio  , formado por todas las funciones escalares medibles   definidas sobre   [3]

Norma de Sobolev

  en   el conjunto de todas las funciones reales con m derivadas continuas definidas en  , donde este conjunto es acotado y abierto en   [4]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. V. Boss Lecciones de matemática tomo 1 Análisis Editorial URSS Moscú (2007)
  2. Boss Op. cit.
  3. J. N. Reddy, M.L. Rasmussen Análisis matemático avanzado con aplicaciones a ingeniería y ciencias Limusa Grupo Noriega Editores Ciudad de México (1992)
  4. Reddy et al Op. cit

BibliografíaEditar