Límite de Fraïssé

En lógica matemática, específicamente en la disciplina de la teoría de modelos, el límite de Fraïssé (también llamado construcción de Fraïssé o amalgamación de Fraïssé) es un método utilizado para construir estructuras matemáticas (infinitas) a partir de sus subestructuras (finitas). Es un ejemplo especial del concepto más general de un límite directo en una categoría .[1]​ La técnica fue desarrollada en la década de 1950 por su homónimo, el lógico francés Roland Fraïssé .[2]

El punto principal de la construcción de Fraïssé es mostrar cómo se puede aproximar una estructura ( contable ) por sus subestructuras generadas finitamente. Dada una clase de estructuras relacionales finitas, si satisface ciertas propiedades (descritas a continuación), entonces existe una estructura contable única , llamado límite de Fraïssé de , que contiene todos los elementos de como subestructuras .

El estudio general de los límites de Fraïssé y las nociones relacionadas, a veces se denomina teoría de Fraïssé. Este campo ha visto amplias aplicaciones a otras partes de las matemáticas, incluida la dinámica topológica, el análisis funcional y la teoría de Ramsey .[3]

Subestructuras generadas finitamente y edad

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Sea un lenguaje   . Por una   -estructura, nos referimos a una estructura lógica que tiene firma   .

Dada una   -estructura   con dominio  , y un subconjunto  , usamos   para denotar la menor subestructura de   cuyo dominio contiene   (es decir, la cerradura de   bajo todos los símbolos de funciones y constantes en   ).

Una subestructura   de   entonces se dice que es finitamente generada si   para algún subconjunto finito   [4]​. La edad de   , denotada  , es la clase de todas las subestructuras generadas finitamente de   .

Se puede probar que cualquier clase   que es la edad de alguna estructura satisface las siguientes dos condiciones:

Propiedad hereditaria (HP)

Si   y   es una subestructura finitamente generada de  , entonces   es isomorfo a alguna estructura en   .

Propiedad conjunta de incrustación (JEP)

Si  , entonces existe   tal que ambos   y   son incrustrables en   .

Teorema de Fraïssé

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Un diagrama conmutativo que ilustra la propiedad de fusión.

Como antes, notamos que para cualquier   -estructura  ,   cumple con HP y JEP. Fraïssé demostró una especie de resultado inverso: cuando   es cualquier conjunto no vacío, contable de   -estructuras finitamente generadas que tiene las dos propiedades anteriores, entonces es la edad de alguna estructura contable.

Además, supongamos que   satisface las siguientes propiedades adicionales:

Propiedad de amalgamación (AP)

Para cualquier estructura  , tal que existen incrustaciones  ,  , existe una estructura   e incrustaciones  ,   tal que   (es decir, coinciden sobre la imagen de A en ambas estructuras).

Contabilidad esencial (EC)

Salvo isomorfismo, hay una cantidad contable de estructuras numerables en   .

En ese caso, decimos que K es una clase de Fraïssé, y hay una única estructura   (módulo isomorfismo), que es contable, homogénea cuya edad es exactamente   .[5]​ Esta estructura se denomina límite de Fraïssé de   .

Aquí, homogéneo significa que cualquier isomorfismo   entre dos subestructuras finitamente generadas   puede extenderse a un automorfismo de toda la estructura.

Ejemplos

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El ejemplo arquetípico es la clase   de todos los ordenamientos lineales finitos, para los cuales el límite de Fraïssé es un orden lineal denso sin extremos (es decir, sin elemento más pequeño ni más grande ). Salvo isomorfismo, siempre es equivalente a la estructura  , es decir, los números racionales con el orden habitual.

Como no ejemplo, tomemos en cuenta que ni   ni   son el límite de Fraïssé de   . Esto se debe a que, aunque ambos son contables y tienen   como su edad, ninguno es homogéneo. Para ver esto, considere las subestructuras   y  , y el isomorfismo   entre ellos. Esto no se puede extender a un automorfismo de   o  , ya que no hay ningún elemento al que podamos mapear  , sin dejar de preservar el orden.

Otro ejemplo es la clase   de todos los grafos finitos, cuyo límite de Fraïssé es el grafo de Rado .[1]

ω-categoricidad

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Supongamos que nuestra clase   bajo consideración satisface la propiedad adicional de ser uniformemente localmente finito, lo que significa que para cada  , hay una cuota uniforme en el tamaño de una subestructura  -generada. Esta condición es equivalente al hecho que el límite de Fraïssé de   es ω-categórico .[6]

Por ejemplo, la clase de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo fijo es siempre una clase de Fraïssé, pero es uniformemente localmente finita solo si el campo es finito.

Véase también

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Referencias

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  1. a b «The n-Category Café». golem.ph.utexas.edu (en inglés). Consultado el 8 de enero de 2020. 
  2. Hodges, Wilfrid. (1997). A shorter model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1. OCLC 468298248. 
  3. Lupini, Martino (November 2018). «Fraïssé limits in functional analysis». Advances in Mathematics 338: 93-174. ISSN 0001-8708. doi:10.1016/j.aim.2018.08.012. 
  4. Schlicht, Philipp (7 de enero de 2018). «An introduction to model theory (lecture notes), Defn 2.2.1». Mathematical Institute of the University of Bonn. 
  5. Notes on infinite permutation groups. Bhattacharjee, M. (Meenaxi), 1965–. Berlin: Springer. 1998. ISBN 3-540-64965-4. OCLC 39700621. 
  6. Hodges, Wilfrid (11 de marzo de 1993). Model Theory. Cambridge University Press. p. 350. ISBN 978-0-521-30442-9.