Límite superior y límite inferior

Una ilustración representando el límite superior y el límite inferior en un sistema de coordenadas cartesianas. La sucesión xn está denotada en una línea a puntos azul. Las dos curvas rojas se aproximan al límite superior y límite inferior de xn, cuyo caso se muestran como líneas a trazos rojas, continuas a la derecha. El límite superior es el más grande de los dos, y el límite inferior el más pequeño de los dos. Los límites superior e inferior sólo coinciden cuando la secuencia es convergente (i.e., cuando el límite es común).

En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (xn) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (xn). Análogamente a éste, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que éste no existe. Por definición no se puede superar al límite superior.

Definición formalEditar

Formalmente el límite inferior de una sucesión   se define como

 

o también como

 

y se denota como   o como  . Análogamente se define  .

Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.

Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión  , se cumple que  

Además se verifica que si el límite de la sucesión existe, éste es igual tanto al límite inferior como al superior.

BibliografíaEditar

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlín 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-6 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).