Método Einstein-Brillouin-Keller

El método de Einstein-Brillouin-Keller (EBK) es un método semiclásico (llamado así por Albert Einstein, Léon Brillouin y Joseph B. Keller) que se utiliza para calcular valores propios en sistemas mecánicos cuánticos. La cuantificación EBK es una mejora de la cuantificación de Bohr-Sommerfeld que no consideró los saltos de fase cáustica en los puntos de inflexión clásicos.​ Este procedimiento es capaz de reproducir exactamente el espectro del oscilador armónico 3D, partícula en una caja, e incluso la estructura fina relativista del átomo de hidrógeno.​

En 1976–1977, Berry y Tabor derivaron una extensión de la fórmula de trazas de Gutzwiller para la densidad de estados de un sistema integrable a partir de la cuantificación EBK.​​

Ha habido una serie de resultados recientes sobre problemas computacionales relacionados con este tema, por ejemplo, el trabajo de Eric J. Heller y Emmanuel David Tannenbaum utilizando un enfoque de descenso de gradiente de ecuación diferencial parcial.​

Procedimiento

Dado un separable sistema clásico definido por coordenadas $(q_{i},p_{i});i\in \{1,2,\cdots ,d\}$, en el que cada par $(q_{i},p_{i})$ describe una función cerrada o una función periódica en $q_{i}$, el procedimiento EBK implica cuantificar las integrales de trayectoria de $p_{i}$ sobre el cerrado órbita de i$q_{i}$:

$I_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}dq_{i}=\hbar \left(n_{i}+{\frac {\mu _{i}}{4}}+{\frac {b_{i}}{2}}\right)$

donde $I_{i}$ es la coordenada del ángulo de acción, $n_{i}$ es un número entero positivo y $\mu _{i}$ y $b_{i}$ son índices de Maslov. $\mu _{i}$ corresponde al número de puntos de inflexión clásicos en la trayectoria de $q_{i}$ (Condición de frontera de Dirichlet), y $b_{i}$ corresponde al número de reflexiones con una pared dura (Condición de frontera de Neumann).​

Ejemplos

Oscilador armónico 1D

El hamiltoniano de un oscilador armónico simple viene dado por

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}$

donde $p$ es el momento lineal y $x$ la coordenada de posición. La variable de acción está dada por

$I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x$

donde hemos usado eso $H=E$ es la energía y que la trayectoria cerrada es 4 veces la trayectoria desde 0 hasta el punto de inflexión $x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}$.

La integral resulta ser

$E=I\omega$,

que bajo la cuantificación EBK hay dos puntos de inflexión suaves en cada órbita $\mu _{x}=2$ and $b_{x}=0$. Finalmente, eso da como resultado

$E=\hbar \omega (n+1/2)$,

que es la cuantización habitual del oscilador armónico cuántico.

átomo de hidrógeno 2D

El hamiltoniano para un electrón no relativista (carga eléctrica $e$) en un átomo de hidrógeno es:

$H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

donde $p_{r}$ es el momento canónico a la distancia radial $r$, y $p_{\varphi }$ es el momento canónico del ángulo azimutal $\varphi$. Tome las coordenadas del ángulo de acción:

$I_{\varphi }={\text{constant}}=L$

Para la coordenada radial $r$:

$p_{r}={\sqrt {2mE-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}}$

$I_{r}={\frac {1}{\pi }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={\frac {me^{2}}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2mE}}}}-|L|$

donde estamos integrando entre los dos puntos de inflexión clásicos $r_{1},r_{2}$ ($\mu _{r}=2$)

$E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}(I_{r}+L)^{2}}}$

Uso de la cuantificación EBK $b_{r}=\mu _{\varphi }=b_{\varphi }=0,n_{\varphi }=m$ :

$L=\hbar m\quad ;\quad m=0,1,2,\cdots$

$I_{r}=\hbar (n_{r}+1/2)\quad ;\quad n_{r}=0,1,2,\cdots$

$E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}$

y haciendo $n=n_{r}+m+1$ el espectro del átomo de hidrógeno 2D​ se recupera:

$E_{n}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}\quad ;\quad n=1,2,3,\cdots$

Téngase en cuenta que para este caso $L$ casi coincide con la cuantificación habitual del operador de momento angular en el plano $L_{z}$. Para el caso 3D, el método EBK para el momento angular total es equivalente a la corrección de Langer.

Referencias

• Datos: Q5349808