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El método de Graeffe se utiliza cuando es necesario calcular todas las raíces de una ecuación, sean reales o imaginarias (también es llamado método del cuadrado de las raíces). Es el único método práctico para calcular raíces imaginarias.

Las primeras ideas de este método se encuentran en los escritos de Waring en el siglo XVIII. Más tarde fue propuesto independientemente por Dandelin (1826) y Lobatchevsky (1834)[1]​ un método para el cálculo de raíces basado en la misma idea, pero solo Eduard Heinrich Graeffe (1837) lo desarrollo en todos sus detalles.

AnálisisEditar

Sea  

La ecuación propuesta, con raíces  .La primera parte del método, es un algoritmo para la formación de la ecuación con raíces  .

Sea  

 

Multiplicando estas ecuaciones, miembro a miembro, tenemos:

 

Reemplazando   por   , la ecuación pedida, de raíces  , se puede escribir de la siguiente manera.

 

Entonces:

 

 

Y luego:

 

Si   en coeficiente de  

 

Escribiendo la ecuación original

 

El coeficiente de   esta en la ecuación tranformada, cuyas raíces son   y esta expresado por la suma   que se continua mientras los índices no se hacen negativos o mayores a   .

ReferenciasEditar

  1. Alston Scott Householder: Dandelin, Lobačevskiǐ, or Graeffe?, Amer. Math. Monthly, 66 (1959), pp. 464–466 (on JSTOR)

BibliografíaEditar

  • J.V. Uspensky. (2009). Teoría de Ecuaciones. Mexico: Limusa.
  • B. Fine, G. Rosenberg. The fundamental theorem of algebra, Springer, 1997