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Matriz definida positiva

Elemento algebraico matricial con sus determinantes menores principales positivos.

En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos (Criterio de Sylvester).

Índice

Definiciones equivalentesEditar

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector   como  , y el conjugado transpuesto,  . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1. Para todos los vectores no nulos   tenemos que
 .

Nótese que   es siempre real.

2. Todos los autovalores   de   son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3. La función
 

define un producto interno  .

4. Todos los menores principales de   son positivos (Criterio de Sylvester). O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivos.
  • la superior izquierda de M de dimensión 1x1
  • la superior izquierda de M de dimensión 2x2
  • la superior izquierda de M de dimensión 3x3
  • ...
  • la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1)
  •   en sí misma
Para matrices semidefinidas positivas, todos los menores principales tienen que ser no negativos.

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza   por  , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

PropiedadesEditar

  • Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.
  • Si   es una matriz definida positiva y   es un número real, entonces   es definida positiva.
  • Si   y   son matrices definidas positivas, entonces la suma   también lo es. Además si

 , entonces   es también definida positiva.

  • Toda matriz definida positiva  , tiene al menos una matriz raíz cuadrada   tal que  .

Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidasEditar

La matriz hermitiana   se dice:

  • definida negativa si   para todos los vectores   ) no nulos
  • semidefinida positiva si   para todo   ) no nulo.
  • semidefinida negativa si   para todo   ) no nulo.

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Caso no hermitianoEditar

Una matriz real M puede tener la propiedad xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

 

es un ejemplo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si la matriz simétrica (M + MT) / 2, es definida positiva.

Enlaces externosEditar