Matriz diagonal

elemento algebraico matricial con elementos nulos fuera de la diagonal principal.

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño es

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño es

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

DefiniciónEditar

La matriz   con   columnas y   renglones es diagonal si

 

Los elementos de la diagonal principal de la matriz   pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Operaciones vectorialesEditar

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal   y un vector   el producto es:

 

Operaciones matricialesEditar

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño   y  .

Para la suma de matrices diagonales se tiene

 

y para el producto de matrices,

 

La matriz diagonal   es invertible si y sólo si las entradas   son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

 

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de  .

Multiplicar la matriz   por la izquierda con   equivale a multiplicar la  -ésima fila de   por   para todo  . Multiplicar la matriz   por la derecha con   equivale a multiplicar la  -ésima columna de   por   para todo  .

PropiedadesEditar

  • El determinante de   es igual al producto  .
  • La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
  • La matriz identidad   y la matriz cero son matrices diagonales.
  • Los autovalores de   son  .
  • Los vectores   forman una base de autovectores.

UsosEditar

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.