Matriz normal

elemento algebraico matricial con propiedad conmutativa del producto de su hermitiano.

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

EjemplosEditar

Esta matriz de orden 2 es normal.

 

debido a que ..

 
 

PropiedadesEditar

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

DemostraciónEditar

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

 


Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

  •     (1)
  •     (2)
  • ...
  •     (n-1)


Usando el hecho que A es normal:

 

Idénticamente.

 

Postmultiplicando por   y luego premultiplicando por   obtenemos:  

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:

 


 


Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

 


 

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

  • Caso i=1:  


 


Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

 


Usando (1)

 

Por lo tanto,    

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar