Media generalizada
La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/MathematicalMeans.svg/250px-MathematicalMeans.svg.png)
En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:
Definición
editarSea una variable discreta que asume los valores positivos
, el número
se denomina media potencial de grado de los números . En particular, el número[2]
es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número
se llama media cuadrática;,[3] finalmente, el número
se denomina media armónica de los números .
Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado , de modo que puede asumir cualquier valor real
Y el valor de x debe ser positivo.[4]
Proposiciones
editarComparación con la media geométrica
editarSi son números positivos y, a su vez, entonces se cumple
donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.
Producto versus suma de n-ésinas potencias
editarDado los números positivos x1, x2,..., xn se cumple que
- nx1 x2... xn ≤ x1n + x2n + xnn[5]
Monotonía de la media potencial respecto al grado
editarSi x1, x2,..., xn son números posiivos y m < p, se tiene C m≤ Cp. Ocurre la igualdad C m = Cp únicamente si
- x1 = x2 =... = xn.
Relación de orden entre diversas medias potenciales
editarSi se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c0, se tiene la siguiente sucesión[6]
- c-1 ≤ c0 ≤ c1 ≤ c2
Propiedades
editarPara es continua respecto a . Obsérvese que para valores de la expresión solo tiene sentido si todos los .
El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.[7]
Aplicaciones
editarMedia geométrica
editarEn el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)
Radio promedio
editarSe conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.[8]
- Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15.
Se aplica la media cuadrática
y para los valores respectivos resulta el valor del radio:
lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería
Medida promedial de arista
editarSe conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.[9]
- Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12
En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3
y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:
resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería
Velocidad promedio
editarSi una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de y aguas arriba a la velocidad de , hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores ,
, para los datos dados, resulta distinto al promedio aritmético .
Véase también
editarNotas y referencias
editar- ↑ Cf. "Media generalizada". Merigó. The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making
- ↑ Publicación referida, pg. 17
- ↑ Publicación referida, la misma pg.
- ↑ Condición necesaria en la definición de cβ que usa una función exponencial xβ
- ↑ Obra citada, pg. 18
- ↑ Obra citada; pg. 29
- ↑ Merigó, José M.; Casanovas, Montserrat (2009). «The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making». Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa 9: 69-84. ISSN 1886-516X. (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
- ↑ Adaptación a las definiciones de la publicación de Korovkin
- ↑ Procedimiento sobre la base de la definición de media potencial
Bibliografía
editarKorovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.