Media generalizada

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:[1]

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.


En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

media cuadrática
media aritmética
media geométrica
media armónica

DefiniciónEditar

Sea   una variable discreta que asume los   valores positivos

 

, el número

 

se denomina media potencial de grado   de los números  . En particular, el número[2]

 

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

 

se llama media cuadrática;,[3]​ finalmente, el número


 

se denomina media armónica de los números  .

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado  , de modo que puede asumir cualquier valor real

 

Y el valor de x debe ser positivo.[4]

ProposicionesEditar

Comparación con la media geométricaEditar

Si   son números positivos y, a su vez,   entonces se cumple

 

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potenciasEditar

Dado los números positivos x1, x2,..., xn se cumple que

nx1 x2... xn ≤ x1n + x2n + xnn[5]

Monotonía de la media potencial respecto al gradoEditar

Si x1, x2,..., xn son números posiivos y m < p, se tiene C m≤ Cp. Ocurre la igualdad C m = Cp únicamente si

x1 = x2 =... = xn.

Relación de orden entre diversas medias potencialesEditar

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c0, se tiene la siguiente sucesión[6]

c-1 ≤ c0 ≤ c1 ≤ c2

PropiedadesEditar

 

Para   es continua respecto a  . Obsérvese que para valores de   la expresión solo tiene sentido si todos los  .

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.[7]

AplicacionesEditar

Media geométricaEditar

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedioEditar

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.[8]

Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15.

Se aplica la media cuadrática

 

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

 

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

 

Medida promedial de aristaEditar

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.[9]

Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

 

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

 

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

 

Velocidad promedioEditar

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de 40km/km y aguas arriba a la velocidad de 25km/km, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores  ,

 

, para los datos dados, resulta   distinto al promedio aritmético  .

Véase tambiénEditar

Notas y referenciasEditar

  1. Cf. "Media generalizada". Merigó. The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making
  2. Publicación referida, pg. 17
  3. Publicación referida, la misma pg.
  4. Condición necesaria en la definición de cβ que usa una función exponencial xβ
  5. Obra citada, pg. 18
  6. Obra citada; pg. 29
  7. Merigó, José M.; Casanovas, Montserrat (2009). «The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making». Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa 9: 69-84. ISSN 1886-516X.  (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
  8. Adaptación a las definiciones de la publicación de Korovkin
  9. Procedimiento sobre la base de la definición de media potencial

BibliografíaEditar

Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.