Medida discreta
En matemáticas, más precisamente en teoría de la medida, una medida sobre la recta real se denomina medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue) si se concentra en un conjunto como máximo contable. No es necesario que el soporte sea un conjunto discreto. Geométricamente, una medida discreta (en la recta real, con respecto a la medida de Lebesgue) es una colección de masas puntuales.
Definición y propiedades
editarDadas dos medidas σ-finitas (positivas) y en un espacio mensurable . Entonces se dice que es discreto con respecto a si existe un subconjunto contable como máximo en tal que
- Todos los solteros con son mensurables (lo que implica que cualquier subconjunto de es mensurable)
Una medida en es discreto (con respecto a ) si y solo si tiene la forma
con y medidas de Dirac En el set definido como
para todos .
También se puede definir el concepto de discreción para las medidas firmadas. Entonces, en lugar de las condiciones 2 y 3 anteriores, uno debería preguntar que ser cero en todos los subconjuntos mensurables de y ser cero en subconjuntos mensurables de
Ejemplo en R
editarUna medida definido en los conjuntos medibles de Lebesgue de la recta real con valores en se dice que es discreta si existe una secuencia (posiblemente finita) de números
tal que
Observe que los dos primeros requisitos de la sección anterior siempre se satisfacen para un subconjunto contable como máximo de la línea real si es la medida de Lebesgue.
El ejemplo más simple de una medida discreta en la recta real es la función delta de Dirac Uno tiene y
De manera más general, se puede demostrar que cualquier medida discreta sobre la recta real tiene la forma
para una secuencia apropiadamente elegida (posiblemente finita) de números reales y una secuencia de números en de la misma longitud.
Referencias
editar- «Why must a discrete atomic measure admit a decomposition into Dirac measures? Moreover, what is "an atomic class"?». math.stackexchange.com. 24 de febrero de 2022.
- Kurbatov, V. G. (1999). Functional differential operators and equations. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5624-1.
Enlaces externos
editar- A.P. Terekhin (2001), «Medida discreta», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.