Número de Descartes

número que es "casi" un número perfecto

En teoría de números, un número de Descartes es un número impar que hubiera sido un número perfecto si uno de sus factores compuestos se considerase como si fuera un número primo. Llevan el nombre de René Descartes (1596-1650), quien observó que el número D = 32⋅72⋅112⋅132⋅22021 = (3⋅1001)2 ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189 sería un número perfecto impar solo si 22021 fuera un número primo, ya que la suma de sus divisores para D cumpliría, si 22021 fuera primo, la condición de que

donde se ignora el hecho de que 22021 es un número compuesto (22021 = 192 ⋅ 61).

Un número de Descartes se define como un número impar n = m ⋅ p donde m y p son números coprimos y 2n = σ(m) ⋅ (p + 1), de donde p se toma como un primo 'falso'. El ejemplo dado es el único conocido actualmente.

Si m es un número casi perfecto impar,[1]​ es decir, si σ(m) = 2m − 1 y 2m − 1 se toman como un primo 'falso', entonces n = m ⋅ (2m − 1) es un número de Descartes, ya que σ(n) = σ(m ⋅ (2m − 1)) = σ(m) ⋅ 2m = (2m − 1) ⋅ 2m = 2n. Si 2m − 1 fuera primo, n sería un número perfecto impar.

Propiedades editar

Banks et al. demostraron en 2008 que si n es un número de Descartes entero libre de cuadrados y no divisible por  , entonces n tiene más de un millón de divisores primos distintos.

Generalizaciones editar

John Voight generalizó los números de Descartes permitiendo bases negativas. Encontró el ejemplo  .[2]​ El trabajo posterior de un grupo en la Universidad Brigham Young encontró más ejemplos similares al localizado por Voight.[2]

Véase también editar

Referencias editar

  1. Actualmente, los únicos números casi perfectos conocidos son potencias de dos no negativas, por lo que el único número impar casi perfecto conocido es 20 = 1.
  2. a b Nadis, Steve (10 de septiembre de 2020). «Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem». Quanta Magazine. Consultado el 3 de octubre de 2021. 

Bibliografía editar