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En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

DefiniciónEditar

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma:

Si f(x), g(x) son funciones complejas definidas en un entorno de un punto  , entonces

  •   cuando   si y sólo si existe un   tal que   para todo   en un entorno de  .
  •   cuando   si y sólo si para todo   tenemos que   para todo   en un entorno de  .

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean  ,   dos funciones definidas para   y sea  . Los simbólos

  ,  

significan respectivamente que   cuando  , y que   está acotado para   suficientemente grande. La misma notación es usada cuando   tiende a un límite finito o a  , o también cuando   tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es   o   si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones   y   definidas en una vecindad de un punto   (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si   cuando  

Si las fracciones  ,   están acotadas en una vecindad de   se dice que  ,   son del mismo orden cuando  

PropiedadesEditar

Contexto de las propiedades

Sean   y supóngase que   es una función definida sobre un intervalo finito o infinito   y es integrable sobre cualquier intervalo   con   podemos escribir

 

Sea   una sucesión de numeros y sea

 

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

  1. Suponga que  ,   están definidas en   e integrables sobre cualquier  , que   y que   cuando  . Si   cuando  , entonces también se tendrá que
     
  2. Sean   dos sucesiones de numeros, esta última positiva. Si   y  , entonces
     
  3. Suponga que la serie   converge, que los  's son positivos, y que  . entonces
     
  4. Sea   una función positiva, monótona y finita definida para   y sea
     
    Entonces
      si   decrementa,   tiende a un límite finito
      si   incrementa,  
  5. Sea   positiva, finita y monótona para  . Si se cumple     incrementa y   o     incrementa y  , entonces   es asintóticamente igual a    

Véase tambiénEditar

BibliografíaEditar

  • Trigonometric Series, vol. 1, A. Zygmund.