Operador covarianza

aplicación en teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad, para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con el producto interno , la covarianza de P es la forma bilineal Cov:  H × H → R dada por

para todo x e y en H. El operador de covarianza C se define entonces por[1]

Propiedades

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A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada. Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto. Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear. En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.

Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B#, definida por

 

donde   es ahora el valor de la función lineal x en el elemento z.

De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es

 

donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal   evaluado en z.

Operador covarianza

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El operador covarianza   de   está definido por:

 

para  , donde   denota el valor esperado de  

 [2]

El operador induce una aplicación simétrica   a través de  , que es bilineal y definida, se llama covarianza.

Justificación

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Sean   y   acotados. Si   es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz para   se cumple que   para todo   y   y   para  , y por lo tanto

 

para todos los  .[3]

Véase también

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Referencias

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  1. R.G. Laha, V.K. Rohatgi (2020). Probability Theory. Courier Dover Publications. pp. 474 de 576. ISBN 9780486842301. Consultado el 11 de febrero de 2024. 
  2. Vladimir I. Bogachev (1998). American Mathematical Society, ed. Gaussian Measures. ISBN 978-1470418694. 
  3. Charles R. Baker, Ian W. McKeague (1981). «Compact Covariance Operators». Proceedings of the American Mathematical Society 83 (3). p. 590–593. doi:10.2307/2044126.