Polinomio de Bernstein

Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los números reales, que son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico. El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein.

El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de De Casteljau.

DefiniciónEditar

Un polinomio de Bernstein   de orden n aproxima una función   en un intervalo, mejor cuanto mayor sea n, a partir de esta fórmula:

 

donde los   son elementos de la distribución binomial respecto de la variable   y los   son valores de la función que queremos aproximar.

Para aproximar la función en el intervalo   estos elementos toman los siguientes valores:

 

(aquí   es el coeficiente binomial).

y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo  , los   se convierten en polinomios de la base de Bernstein:

 

Así, la fórmula general desarrollada es:

 

PropiedadesEditar

 
Polinomios de Bernstein de grado 3.

Para un grado n, existen n+1 polinomios de Bernstein   definidos sobre el intervalo   , por

 

Estos polinomios presentan estas propiedades importantes, que cumplen para cualquier valor de   en el intervalo  

  1. Partición de la unidad :  
  2. Positividad :  
  3. Simetría :  

Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa. La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión. Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial.

Para el intervalo   existe esta fórmula de recurrencia:

 .

EjemploEditar

En el caso de un polinomio de orden   la base en   está compuesta de:

  •  
  •  
  •  

Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:

 

Si aproximamos   obtenemos el mismo polinomio:  

si evaluamos   aproxima a:  

y probando con   resulta:  

AplicacionesEditar

Los polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y por esto son también utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como, por ejemplo, la curva de Beziér, así como para la estimación de las funciones de densidad de probabilidad:


Para n que tiende al infinito, el polinomio converge uniformamente hacia la función f (x), o sea

 

donde

 , llamado módulo de continuidad.

Véase tambiénEditar