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En teoría de Anillos, un polinomio no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro (es decir, ) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que . Es decir, si entonces ha de ser o (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto de los números complejos (también cuerpo), el conjunto de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

EjemplosEditar

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

 ,
 ,
 ,
 ,
 .
  • Sobre el anillo   de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
  • Sobre el cuerpo   de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
  • Sobre el cuerpo   de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
  • Sobre el cuerpo   de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en  , cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales
 
donde   es el coeficiente principal del polinomio y   son los ceros de  . Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo  , tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreducibilidadEditar

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si   cuando p es primo y x es un elemento de orden  .

Polinomios irreducibles de Z[x]Editar

  • Un polinomio   es irreducible sobre  , si y sólo si   también es irreducible.
  • Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo:  , si  , entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

Polinomios irreducibles de Q[x]Editar

Sea f(x) un polinomio primitivo. Así pues, si f(x) es irreducible sobre  , entonces también es irreducible considerado sobre  .[1]

Polinomios irreducibles de R[x]Editar

Los polinomios irreducibles sobre   son los binomios y los polinomios   de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. F. Zaldívar, 1996, p. 34

BibliografíaEditar

  • Zaldívar, Felipe (1996). «1. Anillos». UAM Iztapalapa, ed. Teoría de Galois (1 edición). México: Anthropos. pp. 33-41. ISBN 84-7658-502-0. 

Enlaces externosEditar