editar
Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera:[ 2]
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
2
F
1
(
−
n
,
1
+
α
+
β
+
n
;
α
+
1
;
1
2
(
1
−
z
)
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}
donde
(
α
+
1
)
n
{\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
factorial ascendente ). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto, se obtiene la siguiente expresión equivalente:
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
Γ
(
α
+
β
+
n
+
m
+
1
)
Γ
(
α
+
m
+
1
)
(
z
−
1
2
)
m
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}
editar
La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente:[ 1] [ 3]
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
−
1
)
n
2
n
n
!
(
1
−
z
)
−
α
(
1
+
z
)
−
β
d
n
d
z
n
{
(
1
−
z
)
α
(
1
+
z
)
β
(
1
−
z
2
)
n
}
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.}
Si
α
=
β
=
0
{\displaystyle \alpha =\beta =0}
P
n
(
z
)
=
1
2
n
n
!
d
n
d
z
n
(
z
2
−
1
)
n
.
{\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}
editar
Para x real, el polinomio de Jacobi puede escribirse alternativamente como
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
∑
s
=
0
n
(
n
+
α
n
−
s
)
(
n
+
β
s
)
(
x
−
1
2
)
s
(
x
+
1
2
)
n
−
s
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}.}
y para un número entero n
(
z
n
)
=
{
Γ
(
z
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
z
−
n
+
1
)
n
≥
0
0
n
<
0
{\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}
donde Γ(z ) es la Función gamma .
En el caso especial de que las cuatro cantidades n , n + α , n + β n + α + β
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
n
+
α
)
!
(
n
+
β
)
!
∑
s
1
s
!
(
n
+
α
−
s
)
!
(
β
+
s
)
!
(
n
−
s
)
!
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
(1 )
La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.
Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad
∫
−
1
1
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
P
m
(
α
,
β
)
(
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
=
2
α
+
β
+
1
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
n
!
δ
n
m
,
α
,
β
>
−
1.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.}
Como se define, no tienen una norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando
n
=
m
{\displaystyle n=m}
Aunque no proporciona una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:
P
n
(
α
,
β
)
(
1
)
=
(
n
+
α
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
Los polinomios tienen la relación de simetría
P
n
(
α
,
β
)
(
−
z
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
β
,
α
)
(
z
)
;
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}
por lo tanto, el otro valor terminal es
P
n
(
α
,
β
)
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
(
n
+
β
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
La k -ésima derivada de la expresión explícita conduce a
d
k
d
z
k
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
+
k
)
2
k
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
P
n
−
k
(
α
+
k
,
β
+
k
)
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
El polinomio de Jacobi P (α , β )n ecuación diferencial lineal de segundo orden[ 1]
(
1
−
x
2
)
y
″
+
(
β
−
α
−
(
α
+
β
+
2
)
x
)
y
′
+
n
(
n
+
α
+
β
+
1
)
y
=
0.
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}
Relaciones de recurrencia
editar
La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α , β fija es:[ 1]
2
n
(
n
+
α
+
β
)
(
2
n
+
α
+
β
−
2
)
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
2
n
+
α
+
β
−
1
)
{
(
2
n
+
α
+
β
)
(
2
n
+
α
+
β
−
2
)
z
+
α
2
−
β
2
}
P
n
−
1
(
α
,
β
)
(
z
)
−
2
(
n
+
α
−
1
)
(
n
+
β
−
1
)
(
2
n
+
α
+
β
)
P
n
−
2
(
α
,
β
)
(
z
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}
para n = 2, 3, ....
Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recidivas equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades
(
z
−
1
)
d
d
z
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
1
2
(
z
−
1
)
(
1
+
α
+
β
+
n
)
P
n
−
1
(
α
+
1
,
β
+
1
)
=
n
P
n
(
α
,
β
)
−
(
α
+
n
)
P
n
−
1
(
α
,
β
+
1
)
=
(
1
+
α
+
β
+
n
)
(
P
n
(
α
,
β
+
1
)
−
P
n
(
α
,
β
)
)
=
(
α
+
n
)
P
n
(
α
−
1
,
β
+
1
)
−
α
P
n
(
α
,
β
)
=
2
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
α
,
β
−
1
)
−
(
z
(
1
+
α
+
β
+
n
)
+
α
+
1
+
n
−
β
)
P
n
(
α
,
β
)
1
+
z
=
(
2
β
+
n
+
n
z
)
P
n
(
α
,
β
)
−
2
(
β
+
n
)
P
n
(
α
,
β
−
1
)
1
+
z
=
1
−
z
1
+
z
(
β
P
n
(
α
,
β
)
−
(
β
+
n
)
P
n
(
α
+
1
,
β
−
1
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}
La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por
∑
n
=
0
∞
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
t
n
=
2
α
+
β
R
−
1
(
1
−
t
+
R
)
−
α
(
1
+
t
+
R
)
−
β
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}
de donde
R
=
R
(
z
,
t
)
=
(
1
−
2
z
t
+
t
2
)
1
2
,
{\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,}
y la rama de la raíz cuadrada se elige para que R (z , 0) = 1.[ 1]
editar
Para x en el interior de [−1, 1] , el término asintótico de P (α , β )n n grande viene dado por la fórmula de Darboux[ 1]
P
n
(
α
,
β
)
(
cos
θ
)
=
n
−
1
2
k
(
θ
)
cos
(
N
θ
+
γ
)
+
O
(
n
−
3
2
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),}
donde
k
(
θ
)
=
π
−
1
2
sin
−
α
−
1
2
θ
2
cos
−
β
−
1
2
θ
2
,
N
=
n
+
1
2
(
α
+
β
+
1
)
,
γ
=
−
π
2
(
α
+
1
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\end{aligned}}}
y el término "O " es uniforme en el intervalo [ε, π-ε] para cada ε > 0.
Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine
lim
n
→
∞
n
−
α
P
n
(
α
,
β
)
(
cos
(
z
n
)
)
=
(
z
2
)
−
α
J
α
(
z
)
lim
n
→
∞
n
−
β
P
n
(
α
,
β
)
(
cos
(
π
−
z
n
)
)
=
(
z
2
)
−
β
J
β
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}
donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado.
Los polinomios asintóticos fuera de [−1, 1] son menos explícitos.
La expresión (1 matriz D de Wigner d j m ’,m Plantilla:Pi ) en términos de polinomios de Jacobi:[ 4]
d
m
′
m
j
(
ϕ
)
=
[
(
j
+
m
)
!
(
j
−
m
)
!
(
j
+
m
′
)
!
(
j
−
m
′
)
!
]
1
2
(
sin
ϕ
2
)
m
−
m
′
(
cos
ϕ
2
)
m
+
m
′
P
j
−
m
(
m
−
m
′
,
m
+
m
′
)
(
cos
ϕ
)
.
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}
↑ a b c d e f Szegő, Gábor (1939). «IV. Jacobi polynomials.» . Orthogonal Polynomials . Colloquium Publications XXIII . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1 MR 0372517 ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
↑ P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi_polynomials", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Biedenharn, L.C.; Louck, J.D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics . Reading: Addison-Wesley.
Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 MR 1688958 ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), Cambridge University Press, ed., Orthogonal Polynomials , ISBN 978-0521192255 MR 2723248 
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c078b36a1cb81f94eacdd3ffd60597f378e5847)
Datos: Q371631