Presentación de grupo

En álgebra abstracta, una presentación es una forma de definir un grupo mediante la especificación de dos conjuntos:

  • S, conjunto de los generadores, de modo que todo elemento del grupo pueda expresarse como producto de elementos de S.
  • R, conjunto de las relaciones, igualdades entre elementos del grupo.

La presentación de un grupo G suele escribirse en la forma . En las relaciones en que el segundo miembro de la igualdad sea el elemento neutro del grupo, suele omitirse la igualdad y el elemento neutro. Por ejemplo:

indica que el grupo G está generado por a, b, c, d ; y el conjunto de relaciones nos indica que b9= e, es decir, b es de orden 9, cb es de orden 3, y que c y b conmutan.

Introducción informalEditar

Llamamos palabra a cualquier producto de elementos del grupo o de sus inversos. Por ejemplo, si x, y, z son elementos de un grupo G, entonces xy, z-1xzz son palabras en el conjunto {x, y, z}.

Diremos que un grupo G está generado por un conjunto S, si es posible describir todo elemento de G como producto de la forma

x1a1 x2a2 ... xnan

donde todos los xi son elementos de S, y cada ai es un número entero. Es decir, si todo elemento de G puede expresarse como una palabra en S.

Si G no es un grupo libre, muchos de estos productos serán iguales. Será necesario precisar todas estas relaciones a partir de un conjunto R de relaciones básicas de las que se deduzcan las demás,

DefiniciónEditar

Para definir el concepto de presentación de un grupo, es necesario precisar que significa que una relación se satisface en un grupo dado. Para esto, se recurre a los grupos libres, a través de los cuales se puede representar una relación entre productos de generadores de un grupo como una palabra en el grupo libre. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de símbolos   y el grupo libre sobre  , representado por  . Si   y   son palabras del grupo libre  , entonces la relación   puede representarse por  , y convenir en que el lado derecho siempre es   nos permite fijarnos sólo en la palabra  . Así, tenemos que toda relación entre los elementos de un grupo pueden expresarse como una palabra de   para cierto conjunto  . Puesto que los símbolos de   no son los símbolos de un grupo  , es necesario "traducirlos" a elementos de   mediante una función  , y así podemos decir que una relación de grupo con elementos en un conjunto   se satisface en un grupo   mediante una función   si al interpretar la relación como un producto en   (cambiando letras por su imagen por  ) el resultado es  , el elemento neutro de  .

Dado un conjunto de relaciones  , siempre es posible definir un conjunto que satisface estas relaciones. Se trata del grupo cociente  , donde   es el menor subgrupo normal de   que contiene a  , llamado clausura normal de   (la clausura normal existe, y no es más que el conjunto generado por la clase de conjugación  ). En efecto, pues   se toma como la proyección canónica  , vemos que si   entonces  , y así la palabra  , al ser interpretada como producto en  , es igual al elemento neutro de   y   se satisface en   para toda  . Estas ideas son suficientes para dar la definición de una presentación de grupo:

Se dice que un grupo   tiene una presentación  , donde   es un conjunto y   es un conjunto de palabras del grupo libre   de base  , si existe un isomorfismo  , donde   es la clausura normal de  .

Si   tiene una presentación  , se puede considerar al conjunto   como el generador de  , y entonces   es el mayor grupo libre en   en el que las relaciones   se satisfacen. La formulación precisa de esta última afirmación es el teorema de von Dyck siguiente:

Teorema (von Dyck): Sea   un conjunto de palabras del grupo libre   de base  , y   un grupo donde se satisfacen todas las relaciones de   a través de una aplicación  . Si   es generado por  , entonces existe un único epimorfismo   tal que  , donde   es la clausura normal de   en   y   es la restricción de la proyección canónica   a  :



El teorema de von Dyck nos dice que, en efecto, un grupo   que tiene una presentación   cumple con la propiedad universal que caracteriza a los grupos libres, y así es libre con base  . Cuando   es un grupo que también satisface las relaciones en   y   como en el teorema anterior, entonces hay un epimorfismo   y así   es isomorfo (por el primer teorema de isomorfía) a un grupo cociente de   (a saber  ), y es en este sentido que el grupo   es el mayor grupo libre en   que satisface las relaciones en  .

EjemplosEditar

  • Un grupo cíclico de orden n que tiene un único generador (y es isomorfo a  ), y una presentación
 .
 ,

donde el conjunto de relaciones es vacío, de hecho este grupo coincide con un grupo libre de un solo generador. En general,

 

es la presentación del grupo libre  .

  • El grupo de quaterniones generalizados   tiene la presentación
 .

Se trata de un grupo de orden  . Para  , esta presentación nos da el grupo conocido de quaterniones de orden 8.

  • Otro ejemplo más complejo es la presentación
 ,

que determina un grupo que es isomorfo a   un ejemplo de grupo lineal especial.

Producto libre y producto directoEditar

Si   tiene una presentación   y   una presentación   con   y   disjuntos, entonces el producto libre   tiene una presentación  .

Si   tiene una presentación   y   una presentación   con   y   disjuntos, entonces el producto directo de   y   tiene una presentación  , donde   representa las relaciones necesarias para que todo elemento de   conmute con todo elemento de  .

BibliografíaEditar

  1. Lang, S. Algebra. (2002) Springer-Verlag, New York.
  2. Rotman, J. Advanced Modern Algebra. (2003) Prentice Hall.
  3. Grillet, P. Abstract Algebra. 2007 Springer Science, New York.