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Productorio

(Redirigido desde «Producto infinito»)
Letra pi mayúscula, notación del productorio.

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

NotaciónEditar

La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Para todos los valores m < n

 

Si m = n tenemos que:

 

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

 

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

 

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

 

EjemploEditar

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:

 .

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

 .

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto   es el mismo que   y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

 .

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier   sin que haya peligro de confusión.

Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n! (n factorial) como sigue:

 

Se define  

PropiedadesEditar

Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad MultiplicativaEditar

 

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

 

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

 
 

(Definición por inducción)

 

(Asociatividad en IR) Luego,

 

Propiedad TelescópicaEditar

 

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

 

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

  (Definición por inducción)

Luego,

 

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada  ,  . En particular, para  ,  . Luego la simplificación es posible y

 .

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar