Notación matemática

sistema de representaciones simbólicas de objetos matemáticos

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación, una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

  • Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: , etc.
  • Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: , etc.; en lugar de no debe escribirse , porque eso representaría el producto en lugar del logaritmo neperiano.
  • Según la norma ISO/IEC 80000 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (), también se escriben con letra redonda: .[1]

Teoría de conjuntosEditar

Sean   un elemento y   conjuntos

Relación Notación Se lee
pertenencia   x pertenece a A
inclusión   A está contenido en B
  A está contenido en B o es igual que B
inclusión   A contiene a B
  A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo   es "x no pertenece a A";

Conjuntos numéricosEditar

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

TeX Unicode Uso en matemáticas
  Números complejos
  Cuaterniones
  Números naturales
  Números primos
  Números racionales
  Números reales
  𝕊 Esfera
  Números enteros

Conjuntos numéricos especialesEditar

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ExpresionesEditar

Relación Notación Se lee
igualdad   x es igual que y
menor que   x es menor que y
mayor que   x es mayor que y
aproximado   x es aproximadamente igual que y

Cuantificador

Notación Se lee
cuantificador universal   para todo x
cuantificador existencial   Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad   Existe un único x
tal que   x, tal que y
por lo tanto   x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

  • La función f está acotada.
  • La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

"   ".

Lógica proposicional, álgebra de BooleEditar

Operadores básicosEditar

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean   y   dos proposiciones

Operación Notación Se lee
Negación   no 'p'
Conjunción   'p' y 'q'
Disyunción   'p' o 'q'

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

ImplicaciónEditar

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe   o   como abreviatura de  . La declaración "  implica  " es falsa siempre que   sea verdad pero no necesariamente  .

Si   y  , se escribe  , que se lee "  implica y es implicada por  ", o bien "  si y solo si  ".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción: Salgo tarde   no tengo vehículo   llegaré tarde al trabajo.

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Disyunción lógica: viajo en bus   viajo en mi auto   o lo uno o lo otro.
Contradicciones del lenguaje

Si decimos: aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano, entonces, podríamos entender que aquí hay alguien.

Negación lógica: no   hay nadie   aquí hay alguien.

Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.

Negación lógica: no   produce nada   produce algo.

CuantificadoresEditar

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre Notación Se lee
cuantificador universal   Para todo x...
cuantificador existencial   Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad   Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma   que se leen "para todo  , es verdad que  " y "existe por lo menos un   tal que   es verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que   dice lo mismo que dice  . En palabras, decir "no es para todo   que   es verdad" es igual que decir "existe   tal que   es falsa".

Teoría de númerosEditar

Análisis matemáticoEditar

Análisis realEditar

LímitesEditar

Para decir que el límite de la función   es   cuando   tiende a  , se escribe:

  o bien  .

Igualmente, para decir que la sucesión   va a   cuando   tiende a la infinidad, se escribe:

  o bien  .

DerivadasEditar

Derivadas ordinariasEditar

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:

 

Las derivadas serían:

 
Derivadas parcialesEditar

Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo:

 

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:

 
 

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.

Enlaces externosEditar