Regla del producto (cálculo)

En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones

o usando la notación de Leibniz:

La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

DemostraciónEditar

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

 

con   y   continuas y diferenciables en la variable   entonces

 

Como

 

se tiene

 

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

 

Como   es continua en   se tiene

 

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de   y   en   se tiene también que

 

Por lo tanto

 

EjemploEditar

Suponiendo que se quiere derivar:

 

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

 

GeneralizacionesEditar

Producto de dos o más factoresEditar

La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos

 

Para una colección de funciones   tenemos

 

La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

Derivadas de orden superiorEditar

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la  -ésima derivada del producto de dos factores.

Sean   y   funciones   veces diferenciables. La  -ésima derivada del producto   viene dada por:

 

donde

 

es llamado coeficiente binomial.

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la  -ésima derivada de un número arbitrario de factores

 

Espacio de BanachEditar

Supóngase que  ,   y   son espacios de Banach y   es un operador bi lineal continuo, entonces   es diferenciable y su derivada en el punto   en   es el mapeo lineal   dado por

 

En cálculo vectorialEditar

La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como

Para producto escalar:  

Para producto vectorial:  

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar