Regla del producto (cálculo)

En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.

Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:

O usando la notación de Leibniz:

.

DemostraciónEditar

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

 

con g y h continuas y diferenciables en la variable x. Entonces

 
 

Como

 

se tiene

 
 
 

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

 

Como h es continua en x, se tiene

 

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de h y g en x, se tiene también

  y  

Por tanto,

 

lo cual termina la prueba.

EjemploEditar

Suponiendo que se quiere derivar:

 

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

 

Regla generalizada del producto (o fórmula de Leibniz de la derivada n-esima)Editar

Esta regla puede ser generalizada para la obtención del término de una derivación sucesiva de producto. Sean   y   funciones n-veces diferenciables. La derivada enésima del producto   viene dada por:

 

donde   es llamado coeficiente binomial.

Esto es probado a través de la regla del producto e inducción.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar