Relación ternaria

Una relación ternaria R es el subconjunto de los elementos de $A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\$ que cumplen una determinada condición:

R=\{(a_{1},a_{2},a_{3}):\;(a_{1},a_{2},a_{3})\in A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\land \ R(a_{1},a_{2},a_{3})=Verdadero\}

Ejemplo

Dado el conjunto $\mathbb {N}$ de los números naturales, se define la relación ternaria $R(x,y,z)$ tal que $x+y=z$

R=\{(x,y,z):(x,y,z)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N} \land x+y=z\}

R=\{(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,4),\cdots \}

Una relación ternaria homogénea $R$ se llama así si para todo $x,y,z$ se cumple:^[1]

simétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (y,x,z)\in \ R$ .
simétrica (simétrica): $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,y,x)\in \ R$ .
simétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (x,z,y)\in \ R$ .
Completamente simétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (u,v,w)\in \ R$ , siendo $(u,v,w)$ $(x,y,z)$ .
asimétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,y,x)\notin \ R$ .
Completamente asimétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (u,v,w)\notin \ R$ , siendo $(u,v,w)$ $(x,y,z)$ .
Completamente reflexiva: ${\mbox{card}}\{x,y,z\}\leq 2\Rightarrow (x,z,y)\in \ R$ .
Transitiva: $(x,y,z),(x,z,u)\in \ R\Rightarrow (x,y,u)\in \ R$ .
Cíclica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,x,y)\in \ R$ .
Completa: $x\neq y\neq z\neq x\Rightarrow \exists (u,v,w)\in \ R$ , siendo $(u,v,w)$ $(x,y,z)$ .