Semimartingala

Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico $X$ es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Definición

Definición previa

Un proceso $X$ es una semimartingala total si $X$ es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que $I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}$ es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico $X$ y un tiempo de parada $t$ , la notación $X^{t}$ denota al proceso $(X_{t\land T})_{t\geq 0}$ (donde $s\land t:=\min(s,t)$ , con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Definición

Un proceso $X$ se denomina semimartingala si, para cada $t\in [0,\infty )$ el proceso $X^{t}$ es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Un proceso estocástico definido sobre la filtración $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\operatorname {P} )$ se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
$X_{t}=M_{t}+A_{t}$ donde $M$ es una maritingala local y $A$ es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en $\mathbb {R} ^{n}$ es una semimartingala si cada una de sus componentes $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ es una semimartignala.

Ejemplos

El proceso de Wiener (o movimiento browniano) es una semimartingala.
Un proceso estocástico adaptado con caminos de tipo càdlag de variación finita sobre compactos es una semimartingala.
Toda martingala de cuadrado integrable con caminos de tipo càdlàg es una semimartingala.
Toda martingala local de tipo càdlàg y localmente de cuadradro integrable es una semimartingala.
Una martingala local con caminos continuos es una semimartingala.
Un proceso estocástico adaptado de tipo càdlàg X_t y descomponible como suma $X_{t}=X_{0}+M_{t}+A_{t}$ , donde A₀ = M₀ = 0, donde M es localmente de cuadrado integrable, A es de tipo càdlàg, adaptado y con caminos de variación finita sobre compactos, es una semimartingala.

Semimartingalas e integración

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral I_X asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos H_n a H implique solamente la convergencia en probabilidad de I_X(H_n) a I_X(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal $I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}(\Omega )$ definida por:

I_{X}(H)=H_{0}X_{0}+\sum _{i=1}^{n}H_{i}(X_{T_{i+1}}-X_{T_{i}})

donde $\mathbf {S}$ denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre $\mathbf {S}$ ). En la ecuación anterior el integrando $H\in \mathbf {S}$ es un proceso estocástico que admitiría la representación:

H_{t}=H_{0}1_{\{0\}}+\sum _{i=1}^{n}H_{i}\ 1_{(T_{i},T_{i+1}]}

donde:

1_{A}(\cdot )

es la función característica del conjunto

A

que vale 1 si el argumento de la función pertenece a A y 0 en caso contrario.

Propiedades

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ .

Estabilidad

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Sea $(P_{k})_{k\geq 1}$ una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una $(P_{k})-$ semimartingala para cada k. Sea $R=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}P_{k}$ , donde $\lambda _{k}\geq 0$ , y además $\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}=1$ . Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.

Referencias

Bibliografía

Protter, Philip (1995). «II. Semimartingales and Stochastic Integrals». Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach (en inglés). Springer. pp. p. 43-86.

Datos: Q506346