En matemáticas , las series hipergeométricas básicas , o q -series hipergeométricas , son generalizaciones q -análogas de las series hipergeométricas generalizadas , y son a su vez generalizadas por las series hipergeométricas elípticas .
Una serie x n se denomina hipergeométrica si la relación de los términos sucesivos x n +1 / x n es una función racional de n . Si la razón de términos sucesivos es una función racional de q n , entonces la serie se denomina serie hipergeométrica básica. El número q se llama base.
La serie hipergeométrica básica
2
ϕ
1
(
q
α
,
q
β
;
q
γ
;
q
,
x
)
{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}
fue considerada por primera vez por Eduard Heine en 1846. Se convierte en la serie hipergeométrica
F
(
α
,
β
;
γ
;
x
)
{\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}
en el límite cuando la base
q
=
1
{\displaystyle q=1}
.
Hay dos formas de series hipergeométricas básicas, la serie hipergeométrica básica unilateral φ, y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ.
La serie hipergeométrica básica unilateral se define como
j
ϕ
k
[
a
1
a
2
…
a
j
b
1
b
2
…
b
k
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
0
∞
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
j
;
q
)
n
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
k
,
q
;
q
)
n
(
(
−
1
)
n
q
(
n
2
)
)
1
+
k
−
j
z
n
{\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}}
donde
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
m
;
q
)
n
=
(
a
1
;
q
)
n
(
a
2
;
q
)
n
…
(
a
m
;
q
)
n
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}
y
(
a
;
q
)
n
=
∏
k
=
0
n
−
1
(
1
−
a
q
k
)
=
(
1
−
a
)
(
1
−
a
q
)
(
1
−
a
q
2
)
⋯
(
1
−
a
q
n
−
1
)
{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}
es el símbolo q-Pochhammer .
El caso especial más importante es cuando j = k + 1, que se convierte en
k
+
1
ϕ
k
[
a
1
a
2
…
a
k
a
k
+
1
b
1
b
2
…
b
k
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
0
∞
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
k
+
1
;
q
)
n
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
k
,
q
;
q
)
n
z
n
.
{\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}
Esta serie se llama balanceada si a 1 ... a k + 1 = b 1 ...b k q . La serie se llama bien equilibrada si a 1 q = a 2 b 1 = ... = a k + 1b k y muy bien equilibrada si además a 2 = −a 3 = qa 1 1/2 .
La serie hipergeométrica básica unilateral es un q -análogo de la serie hipergeométrica ya que
lim
q
→
1
j
ϕ
k
[
q
a
1
q
a
2
…
q
a
j
q
b
1
q
b
2
…
q
b
k
;
q
,
(
q
−
1
)
1
+
k
−
j
z
]
=
j
F
k
[
a
1
a
2
…
a
j
b
1
b
2
…
b
k
;
z
]
{\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}
se cumple (Koekoek y Swarttouw (1996) ).
La serie hipergeométrica básica bilateral , correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral , se define como
j
ψ
k
[
a
1
a
2
…
a
j
b
1
b
2
…
b
k
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
j
;
q
)
n
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
k
;
q
)
n
(
(
−
1
)
n
q
(
n
2
)
)
k
−
j
z
n
.
{\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}
El caso especial más importante es cuando j = k , puesto que se convierte en
k
ψ
k
[
a
1
a
2
…
a
k
b
1
b
2
…
b
k
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
k
;
q
)
n
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
k
;
q
)
n
z
n
.
{\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}
La serie unilateral puede obtenerse como un caso especial de la bilateral igualando una de las variables b a q , al menos cuando ninguna de las variables a es potencia de q , ya que todos los términos con n < 0 desaparecen.
Series simples
editar
Algunas expresiones de series simples son
z
1
−
q
2
ϕ
1
[
q
q
q
2
;
q
,
z
]
=
z
1
−
q
+
z
2
1
−
q
2
+
z
3
1
−
q
3
+
…
{\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }
,
z
1
−
q
1
/
2
2
ϕ
1
[
q
q
1
/
2
q
3
/
2
;
q
,
z
]
=
z
1
−
q
1
/
2
+
z
2
1
−
q
3
/
2
+
z
3
1
−
q
5
/
2
+
…
{\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }
y
2
ϕ
1
[
q
−
1
−
q
;
q
,
z
]
=
1
+
2
z
1
+
q
+
2
z
2
1
+
q
2
+
2
z
3
1
+
q
3
+
…
.
{\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}
El teorema q -binomial
editar
El teorema q -binomial (publicado la primera vez en 1811 por Heinrich August Rothe )[ 1] [ 2] establece que
1
ϕ
0
(
a
;
q
,
z
)
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
=
∏
n
=
0
∞
1
−
a
q
n
z
1
−
q
n
z
{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}
la cual se se obtiene aplicando repetidamente la identidad
1
ϕ
0
(
a
;
q
,
z
)
=
1
−
a
z
1
−
z
1
ϕ
0
(
a
;
q
,
q
z
)
.
{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}
El caso especial de a = 0 está íntimamente relacionado con la q-exponencial .
Teorema binomial de Cauchy
editar
El teorema binomial de Cauchy es un caso especial del teorema q-binomial.[ 3]
∑
n
=
0
N
y
n
q
n
(
n
+
1
)
/
2
[
N
n
]
q
=
∏
k
=
1
N
(
1
+
y
q
k
)
(
|
q
|
<
1
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}
Identidad de Ramanujan
editar
Srinivasa Ramanujan dio la identidad
1
ψ
1
[
a
b
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
=
(
b
/
a
,
q
,
q
/
a
z
,
a
z
;
q
)
∞
(
b
,
b
/
a
z
,
q
/
a
,
z
;
q
)
∞
{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}
válida para |q | < 1 y |b /a | < |z | < 1. Identidades similares para
6
ψ
6
{\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}
habían sido dadas por Bailey. Tales identidades pueden ser entendidas como generalizaciones del producto triple de Jacobi , que pueden ser escritas usando q-series como
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
(
n
+
1
)
/
2
z
n
=
(
q
;
q
)
∞
(
−
1
/
z
;
q
)
∞
(
−
z
q
;
q
)
∞
.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}
Ken Ono dio una serie de potencias formal relacionada[ 4]
A
(
z
;
q
)
=
d
e
f
1
1
+
z
∑
n
=
0
∞
(
z
;
q
)
n
(
−
z
q
;
q
)
n
z
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
q
n
2
.
{\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}
Integral de contorno de Watson
editar
Como un análogo de la integral de Barnes para las series hipergeométricas, Watson mostró que
2
ϕ
1
(
a
,
b
;
c
;
q
,
z
)
=
−
1
2
π
i
(
a
,
b
;
q
)
∞
(
q
,
c
;
q
)
∞
∫
−
i
∞
i
∞
(
q
q
s
,
c
q
s
;
q
)
∞
(
a
q
s
,
b
q
s
;
q
)
∞
π
(
−
z
)
s
sin
π
s
d
s
{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}
donde los polos de
(
a
q
s
,
b
q
s
;
q
)
∞
{\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}
se encuentran a la izquierda del contorno y los polos restantes se encuentran a la derecha. Hay una integral de contorno similar para r +1 φr . Esta integral de contorno da una continuación analítica de la función hipergeométrica básica en z .
Versión matricial
editar
La función hipergeométrica básica matricial se puede definir de la siguiente manera:
2
ϕ
1
(
A
,
B
;
C
;
q
,
z
)
:=
∑
n
=
0
∞
(
A
;
q
)
n
(
B
;
q
)
n
(
C
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
z
n
,
(
A
;
q
)
0
:=
1
,
(
A
;
q
)
n
:=
∏
k
=
0
n
−
1
(
1
−
A
q
k
)
.
{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}
El criterio del cociente muestra que esta función matricial es absolutamente convergente.[ 5]
Véase también
editar
↑ Bressoud, D. M. (1981), «Some identities for terminating q -series», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 89 (2): 211-223, Bibcode :1981MPCPS..89..211B , MR 600238 , doi :10.1017/S0305004100058114 ..
↑ Benaoum, H. B. (1998), «h -analogue of Newton's binomial formula», Journal of Physics A: Mathematical and General 31 (46): L751-L754, Bibcode :1998JPhA...31L.751B , S2CID 119697596 , arXiv :math-ph/9812011 , doi :10.1088/0305-4470/31/46/001 ..
↑ Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem
↑ Gwynneth H. Coogan and Ken Ono , A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions , (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131 , pp. 719–724
↑ Ahmed Salem (2014) The basic Gauss hypergeometric matrix function
and its matrix q-difference equation, Linear and Multilinear Algebra, 62:3, 347-361, DOI:
10.1080/03081087.2013.777437
Plantilla:Dlmf
W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
Exton , H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's
1
ψ
1
{\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}
Summation
Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications , Mathematical Surveys and Monographs 27 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1524-3 , MR 956465 .
Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series , Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 (2nd edición), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719 .
Heine, Eduard (1846), «Über die Reihe
1
+
(
q
α
−
1
)
(
q
β
−
1
)
(
q
−
1
)
(
q
γ
−
1
)
x
+
(
q
α
−
1
)
(
q
α
+
1
−
1
)
(
q
β
−
1
)
(
q
β
+
1
−
1
)
(
q
−
1
)
(
q
2
−
1
)
(
q
γ
−
1
)
(
q
γ
+
1
−
1
)
x
2
+
⋯
{\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }
» , Journal für die reine und angewandte Mathematik 32 : 210-212 .
Victor Kac , Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996), The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues , Technical University Delft, no. 98-17 .. Section 0.2
Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press .
Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , pp 97–125.
Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
Enlaces externos
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