Suma directa

Un coproducto de objetos en una categoría , es un objeto de , junto a una familia de morfismos () tal que para cualquier objeto y una familia de morfismos , existe un único morfismo tal que .

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota .

EjemplosEditar

  • Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea   una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

  y todos los   son cero, excepto un número finito de ellos  , y definimos
  como la inclusión de   en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento   R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

 
 


  • Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que  , podemos definir la suma directa interna, denotada  , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.


  • Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de  -módulos.

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