Teorema de Gerschgorin

El teorema de Gerschgorin es utilizado en álgebra lineal para encontrar una cota de los valores propios de una matriz cuadrada. Fue publicado por el matemático soviético Semyon Aranovich Gershgorin en 1931.[1]

Discos de GerschgorinEditar

Sea   una matriz compleja.

Para cada  , sea   la suma de los valores absolutos de las entradas no diagonales de la  -ésima fila de  :

 .

Se definen los discos de Gerschgorin (por filas) como:  

De la misma manera, pueden definirse los discos de Gerschgorin por columnas de una matriz.

TeoremaEditar

Los valores propios de la matriz   se encuentran en los discos de Gerschgorin. Esto es, si   es valor propio de  , entonces   para algún  .

Demostración

Sea   un valor propio de   y   un vector propio asociado a  .

Supongamos que la componente de mayor valor absoluto de   es la  -ésima, es decir,  .

Como  , tomando la  -ésima componente de esa ecuación, tenemos:

 .

Pasando   al otro lado y tomando valores absolutos:

 .

Dividiendo por   y teniendo en cuenta que  :

 

Por tanto  .

CorolarioEditar

Los valores propios de la matriz   se encuentran en los discos de Gerschgorin correspondientes a las columnas de  .

Demostración

Aplíquese el teorema a   (transpuesta de  ), teniendo en cuenta que los valores propios de   y   son iguales.

Observación importanteEditar

El teorema no dice que haya un único disco que contenga a cada valor propio, ni que cada disco contenga un único valor propio.

En el caso de que un disco sea disjunto de los demás, sí es cierto que contiene un sólo valor propio. Sin embargo, si dos discos tienen intersección no vacía, puede ser que uno de ellos contenga dos valores propios y el otro ninguno.

En general, puede probarse que:

Si la unión de   discos es disjunta de los otros   discos, entonces ésta contiene exactamente   valores propios.

EjemploEditar

Vamos a usar el teorema de Gerschgorin para estimar los valores propios de la matriz:

 .

Calculamos los radios de los discos de Gerschgorin por filas:

 .

Obtenemos, pues, que los discos (es este caso intervalos) de Gerschgorin por filas de la matriz   son:

 

Podemos mejorar la precisión de la cota de las últimas dos filas aplicando el teorema por columnas:

 

 
Diagrama que muestra los discos de Gerschgorin y los autovalores de la matriz  .

Los valores propios de la matriz son:

 

Nótese que esta es un matriz diagonal dominante (por columnas), por lo que los valores propios están muy cerca de los centros de los discos y las cotas son muy buenas. En una matriz arbitraria, no es raro esperar que los valores propios se encuentren bastante más lejos de los centros.

ReferenciasEditar

  1. Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 6, 749–754, 1931 [1]