Valor absoluto
En matemáticas, el valor absoluto o módulo[1] de un número real , denotado por , es el valor de sin considerar el signo, sea este positivo o negativo.[2] Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto de es . Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Definición
editarNúmeros reales
editarPara cualquier número real , el valor absoluto o módulo de se denota por y se define como:[3]
El valor absoluto de es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo: cuando es un número negativo entonces su valor absoluto es necesariamente positivo .
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto de la diferencia entre dos números es la distancia entre ellos.
Propiedades
editarEl valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales, considere entonces
Otras propiedades útiles son las siguientes
estas son consecuencia de la definición o de las primeras cuatro propiedades.
Otras dos propiedades que utilizan desigualdades son
Estas relaciones pueden ser utilizadas para resolver desigualdades que involucran el valor absoluto, por ejemplo:
Definición equivalente
editarSi es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:
- es igual al máximo de .[4]
Relación con las funciones pares
editarUna aplicación importante del valor absoluto sucede cuando se encuentra dentro de una función par. Es decir: Si y solo si, se sabe que es una función par. Por ejemplo:
Función Valor absoluto
editarLa función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto.
Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido por:[5]
que suele expresarse como:
Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Esta función es continua en toda la recta real y es diferenciable en menos en .
Relación con la función signo
editarLa función real valor absoluto de un número real devuelve su valor sin considerar el signo mientras que la función signo devuelve el signo de un número sin considerar su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:
o
y para
Derivada
editarLa función real valor absoluto tiene derivada para cada pero no es diferenciable en . Su derivada, para , está dada por la siguiente función
Para la derivada de la función valor absoluto es la función signo
Antiderivada
editarLa antiderivada (integral indefinida) de la función real valor absoluto es
donde es una constante de integración arbitraria.
Distancia
editarEn general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para hallar la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto que expresa la distancia a lo largo de la recta numérica real.
- La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores constantes.
- La función y = x|x|, usando valor absoluto, es una función creciente y continua, su gráfica se obtiene de la gráfica de la parábola y=x2, reflejando la rama izquierda respecto al eje Ox.
El conjunto de los reales con la norma definida por el valor absoluto es un espacio de Banach.[6]
Valor absoluto de un número complejo
editarLa generalización cabe. pues en R y C van a expresar la noción de distancia.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
- donde z* es el conjugado del número complejo z.
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
editarEl valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
es el conjugado de z, entonces se verifica que:
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.
Generalizaciones
editarNúmeros hipercomplejos
editarAdemás de en los números complejos la función valor absoluto puede extenderse a números hipercomplejos como los cuaterniones o los octoniones. En estas álgebras sobre los números reales el valor absoluto de un número h se define como:
Donde representa el hiperconjungado de h.
Espacios vectoriales
editarEn espacios vectoriales que no son álgebras sobre los reales, los conceptos de módulo, norma y seminorma generalizan la noción de valor absoluto de los números reales.
Números p-ádicos
editarEl teorema de Ostrowski demuestra que sobre el cuerpo de los números racionales sólo se pueden definir un cierto número de normas no triviales con las propiedades del valor absoluto. Además del valor absoluto ordinario, se pueden definir las normas p-ádicas , que son no-aquimedeanas y que tienen esencialmente las mismas propiedades definitorias del valor absoluto ordinario, pero da lugar a una estructura topológica totalmente diferente.
Programación del valor absoluto
editarEn programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs()
. Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs()
, llabs()
, fabs()
, fabsf()
y fabsl()
.
La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:
int abs (int i)
{
if (i < 0)
return -i;
else
return i;
}
Sin embargo, al tratar con coma flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.[cita requerida]
Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en una arquitectura x86, con la sintaxis de Intel:
cdq
xor eax, edx
sub eax, edx
cdq
extiende el bit de signo de eax
en edx
. Si eax
es no-negativa, entonces edx
se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax
sin cambios. Si eax
es negativa, entonces edx
se convierte en 0xFFFFFFFF
, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejando el valor absoluto del valor negativo en eax
.
Véase también
editarReferencias y notas
editar- ↑ Jean-Robert Argand, introductor del término módulo en 1806, ver: Nahin, O'Connor and Robertson, 5- y +5 igual a cinco yfunctions.Wolfram.com.
- ↑ Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 16. ISBN 9788421659854.
- ↑ Dolciani y otros. álgebra moderna
- ↑ Spivak. Calculus I
- ↑ functions.Wolfram.com introducción de la notación , por Karl Weierstrass en 1841.
- ↑ Pues es un espacio normado, además toda sucesión de Cauchy tiene límite en R
Bibliografía
editar- Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Jean Robert Argand» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Argand/.
- Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259-263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
- Weisstein, Eric W. «Absolute Value». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- value Valor absoluto en PlanetMath.
Enlaces externos
editar- Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Valor absoluto.