Teorema de la intersección de Cantor

El teorema de la intersección de Cantor refiere a dos teoremas estrechamente relacionados topología general y análisis real, nombrado en honor a Georg Cantor, en relación con intersecciones de secuencias anidadas de conjuntos compactos no vacíos.

Enunciación topológica

Teorema. Sea S un espacio topológico. Una secuencia anidada decreciente de subconjuntos no vacíos cerrados y compactos de S tiene una intersección no vacía. En otras palabras, suponiendo que $(C_{k})$ es una secuencia de subconjuntos no vacíos compactos y cerrados de S que satisface

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots C_{n}\supset C_{n+1}\cdots ,$

resulta que

$\left(\bigcap _{k}C_{k}\right)\neq \emptyset .$

Nota: Podemos abandonar la condición de cerrado en situaciones donde cada subconjunto compacto de S es cerrado; por ejemplo, cuando S es un espacio de Hausdorff.

Demostración. Supóngase por contradicción que $\bigcap C_{k}=\emptyset$. Para cada k, sea $U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}$. Como $\bigcup U_{k}=C_{0}\setminus \left(\bigcap C_{k}\right)$ y $\bigcap C_{k}=\emptyset$, se tiene que $\bigcup U_{k}=C_{0}$. Nótese que como $C_{k}$ son cerradas relativamente a S y, por lo tanto, también cerradas relativamente a $C_{0}$, la $U_{k}$, su conjunto complementa $C_{0}$, son abiertos relativamente a $C_{0}$.

Como $C_{0}\subset S$ es compacto, $(U_{k})$ is an open cover (en $C_{0}$) de $C_{0}$, se puede extraer una tapa finita $\{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}$. Sea $M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}$. Entonces $\bigcup U_{k_{i}}=U_{M}$ ya que $U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots$, por la hipótesis de anidamiento de la colección $(C_{k})$. Consecuentemente, $C_{0}=\bigcup U_{k_{i}}=U_{M}$, pero entonces $C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset$, contradiciéndose. ∎

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Cantor's Intersection Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Jonathan Lewin. An interactive introduction to mathematical analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01718-1. Sección 7.8.

• Datos: Q1050203